Wśród wielu znanych cech podzielności przez 7 podanych przez M. Szurka w Opowieściach matematycznych nie ma jednej, bardzo prostej. Jest ona podobna do cechy I, lecz działa nieco inaczej.
Cecha I polegała na odcięciu dwu ostatnich cyfr liczby, oraz dodanie do niej iloczynu 4 oraz odciętej liczby dwucyfrowej. Jeśli nowo otrzymana liczba jest podzielna przez 7, to początkowa także.
Ta cecha zaczyna się podobnie, odcinam dwie ostatnie cyfry, lecz liczbę dwucyfrową dodaję do podwojonej części.
Na przykładzie 138264, oryginalnie:
1382 + 4*64 = 1638
16 + 4*38 = 168
dokończenie 168 = 24*7.
Ten sam przykład, moją cechą podzielności
2*1382 + 64 = 2828
2*28 + 28 = 84 = 12*7
Cecha działa, ponieważ 7 dzieli 98, czyli 100-2. W każdym kroku zmniejszam o wielokrotność 98.
Bardzo podobnie zachowuje się 17, które dzieli 102.
Cecha podzielności przez 17 jest identyczna, z tą różnicą, że liczbę dwucyfrową odejmuje się zamiast dodawać.
Przykład dla tej samej wartości 138264 = 8133*17+3
2*1382 - 64 = 2700
2*27 - 0 = 54 = 3*17 + 3
4 komentarze:
Witam wydaje mi się że jednak łatwiejszym sposobem jest mnożenie ostatniej cyfry przez 2 lub 3 - może to kwestia gustu.
138264 -> 13826 - 4*2
13818 -> 1381 - 8*2
1365 -> 136 - 5*2
126 -> 12 - 6*2
0 (wynik 0 i liczba podzielna przez 7 oznacza podzielność przez 7)
138264 -> 13826 + 4*3
13838 -> 1383 + 8*3
1407 -> 140 + 7*3
161 -> 16 + 1*3
19 -> 1 + 9*3
-------------
28 / 7 = 4
Pierwszy sposób, z 2, jest znany jako twierdzenie Żbikowskiego (podzielność przez 7), za wspomnianą pozycją Szurka.
Druga propozycja, z 3, niestety w ogólności jest fałszywa. Zarówno dla 7, jak i dla 17. Zmienia reszty z dzielenia.
Być może w równaniach kongruencyjnych wyprowadzania cechy podzielności niezbędna jest równoważność warunków, gdyż dla 17 nie znalazłem małych czynników, zachowujących resztę.
Znalazłem kilka dodatkowych zasad wyprowadzających cechy na podzielność.
Proponowana cecha w komentarzu zmienia reszty z dzielenia, przez 3 jest fałszywa, ale przez -5 dla 17 działa.
Tę i wiele innych cech jest podanych na innym blogu po angielsku. Tam będzie można wybrać sobie najbardziej optymalną dla danej liczby. Cechę proponowaną w poście można użyć od środka liczby, a wtedy działa rewelacyjnie:
138264, zamiast 2*1382 liczymy 2(2*13+82), i do tego modulo 7
2*13+82 = 26+82 = 5+5 = 3 (7)
2*3+64 = 70 = 0 (7)
The blog about properties of divisors like this is in English:
divisorrules.blogspot.com
Prześlij komentarz