23 stycznia 2020

Faktoryzacja z podstawy systemu, przygotowanie do implementacji

Przejrzałem wręcz, co się dzieje, gdy najpierw szukamy postaci kanonicznej podstawy systemu, a z jego pomocą rozkładu liczby.

Założenia:
- pamiętać jak najmniej; wymagana jest jednak znajomość wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż pierwiastek czwartego stopnia z liczby rozkładanej n. Wystarczy zapamiętać parę, na którą składają się dzielnik i jego odpowiednia wielokrotność;
- każda liczba pierwsza jest testowana dokładnie raz.

Drugi z warunków w pierwszej wersji sugerował zapamiętanie dodatkowych przedziałów, ale bliższe obserwacje wskazały, że nie są one potrzebne. Są niezbędne z kolei, kiedy chcemy sprawdzić dzielnik jak nakszybciej, zaraz przy jego pierwszym pojawieniu się, nie czekając na odpowiednią wartość.
Jeśli poczekamy, liczby pierwsze będą się spokojnie ujawniać wielokrotnie, a będziemy badać tylko występujące przy potęgach dwójki. 

Znowu mamy dwa kierunki przeglądu zupełnego. Od pierwiastka kwadratowego z liczby rozkładanej n do połowy tej liczby, lub na odwrót.
Przy pierwiastku kwadratowym niezmiennik 
n = (a+b)*a + c
ma wartości a=sqrt n; b równe 0, 1 albo 2; c jest na moduł ograniczane przez a. Zmiana a o 1 powoduje w tym zakresie zmianę b o 2,
np. 8934053 = (2988+2)*2988-67.
Przy połowie pierwiastka kwadratowego c dalej jest ograniczone na moduł przez a, a = 1/2 sqrt n, zaś b jest bliskie 3/2 sqrt n. Zmianie a o 1 tutaj towarzyszy zmiana b o 4:
np. 8934053 = (1494+4486)*1494-67.
Modyfikacje są na tyle małe, że robimy mały błąd nadając zazwyczaj a~3*b dla szacunku c jak najbliższego zeru. Potem korekta postaci: b+1 oznacza c-a.   

Pierwiastek czwartego stopnia z 8934053 to 54. Czyli do rozkładu potrzebujemy zapamiętywać wielokrotności następujących liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 37, 41, 43, 47, 53. Warto mieć je posortowane po wartościach, wystarczy jedna wartość na jedną liczbę pierwszą jak najbliżej pobieranej do testu.  
Zaczynając od pierwiastka kwadratowego, zapisujemy (2988; 2), (2988; 3), co można złączyć w (2988; 2, 3); (2985; 5), (2982; 7), itd.
Wbrew początkowym oczekiwaniom, nie musimy znać rozkładu kanonicznego, nawet tej jego części korzystajacej z wymienionych liczb pierwszych. Wystarczy nam liczba oraz jej dzielniki.

Algorytm:
1. k = 1+sqrt n ;
2. pętla, bierzemy wartość o 1 mniejszą (k--);
3. jeśli liczba nie jest zapamiętana, sprawdzamy ją pod kątem pierwszości
jeśli liczba jest zapamiętana, sprawdzamy, czy ma dzielnik większy od 2, jeśli nie, sprawdzamy liczbę pod kątem pierwszości;
4. liczba złożona (k, p) wskazuje, że liczba (k-p, p) też jest złożona, zapamiętujemy ją (dla każdej czynnika pierwszego p), przy czym, jeśli dana wartość k-p już jest zapamiętana, tylko dopisujemy doń kolejny dzielnik;
5. jeśli k<1/2 sqrt n, liczba jest pierwsza; w przeciwnym przypadku wracamy do 2;

Sprawdzenie pod kątem pierwszości, trafiają tu liczby pierwsze oraz postaci k=2^i*p, gdzie p jest pierwsza.
Obliczamy wartość c niezmiennika n=(k+b)*k+c, oraz sprawdzamy |c|%p. Podzielność oznacza znalezienie dzielnika p|n (bo p|k). Dla większości wartości sprowadza się do porównania takiego jak 157<881. Rzadko kiedy trzeba dzielić modulo. Oczywiście wtedy należy zakończyć algorytm.

Dlaczego to działa.
Potęgi dwójki dzielą nam przedział (1, sqrt n)  na rozłączne przedziały
(2^{-i}*n, 2^{1-i}*n);
każda liczba pierwsza trafia do dokładnie jednego z nich.

Jeśli dopuścimy inne liczby pierwsze lub rozkład kanoniczny, zakresy przedziałów będą często miały części wspólne. Owszem, początkowo szybko będziemy sprawdzać i eliminować liczby pierwsze, korzystając z dzieleń. Choć wtedy część liczb będzie sprawdzanych wielokrotnie, o ile ich nie zapamiętamy. I tak musimy przejrzeć cały przedział. W dotatku mamy nadmiarowe dzielenia przy szukaniu liczb pierwszych większych niż zapamiętane, gdyż nie znamy wykladników potęg tych liczb pierwszych w rozkładach.

1 stycznia 2020

Faktoryzacja z podstawy systemu

Wspomniałem 18 grudnia o nowym pomyśle na faktoryzację, związanym z przedstawianiem podstawy systemu w postaci kanonicznej.
Pomysł jest tak specyficzny, że działa także dla normalnych liczb, choć potrzeba pamiętania ogromnych wartości z ich dzielnikami powoduje, że sposób jest nieopłacalny, i nikt o nim nie wspomina.

Podobnie jest i teraz, choć wymagam tylko znajomości tablicy liczb pierwszych nie przekraczajacych pierwiastka czwartego stopnia z rozkładanej liczby. Nie mamy? Nic straconego, delikatna rekursywna modyfikacja i już taką uzyskujemy, niejako przy okazji.Ale teraz podaję jakby tablica ta była znana.

Zacznijmy od nieformalnego podziału liczb pierwszych w zależności od rozkładanej liczby N:
- małe, mniejsze niż pierwiastek czwartego stopnia z N;
- średnie, większe niż pierwiastek czwartego stopnia, ale pojawią się w co najmniej dwu warstwach badanych;
- duże, wystąpią raz, rozpoznajemy je po tym, że podstawa systemu jest albo taką liczbą pierwszą, albo jej podwojeniem.

W pętli przeszukiwania zupełnego duże liczby pierwsze są sprawdzane i ignorowane. Potrzebujemy struktury kopca trzymajacego strukturę (liczba, lista jej dzielników), sortowaną malejąco po liczbie. Wkładając do kopca liczbę z dzielnikiem, sprawdzamy jej obecność. Jeśli już jest, tylko dopisujemy kolejny dzielnik do listy. Kopiec osiąga rozmiar równy krotności wszystkich małych i średnich liczb pierwszych.
Zaczynamy od liczby n będącej pierwiastkiem kwadratowym z N, w kopcu umieszczamy wartości (n- (n%k), k), gdzie k są małymi liczbami pierwszymi.  Wiemy, że są one już dzielnikami podstawy systemu, trzeba jeszcze sprawdzić, czy są dzielnikami N.Dlatego specjalnie je zaznaczamy do sprawdzenia. Każdą liczbę pierwszą sprawdzamy dokładnie raz.

Mamy niezmiennik
N = (a+b)*a+c
Jeśli liczba k dzieli a oraz c, dzieli też N. 
W pętli algorytmu przechodzimy na kolejną warstwę operacjami:
a-=1;
b+=2;
c+=b-1;
stosując przemieszczenie nadmiaru (z liczby w systemie o podstawie a), by c było ograniczone przez a. Może być też ujemne. Wartosć b tylko zwiększamy, może przekroczyć a. Dzielnik znajdziemy jako wspólny dzielnik gcd(c,a). Wystarczy tylko warunek 0= c%a, zamiast szukać wspólnego dzielnika gcd(c,a). Jest to pierwszy krok szukania tegoż dzielnika, i właśnie tyle wystarczy przy założeniu znajomości małych liczb pierwszych. 

Algorytm przebiega następująco:
- pobieramy liczbę o 1 mniejszą, czyli n:=n-1
jeżeli z kopca, dzielimy ją przez jej dzielniki (z listy) by uzyskać jak najmniejszą wartość d, w przeciwnym przypadku generujemy;
uzyskujemy w ten sposób liczbę pierwszą d albo 1;
- dzielimy c%d i sprawdzamy reszty, tak samo z małymi liczbami pierwszymi z pobranej listy, reszta zero oznacza dzielnik, który zwracamy. Wyjście z algorytmu. Przy reszcie niezerowej te liczby pierwsze już nie muszą być sprawdzane, zaznaczają tylko kolejne wartości dla wygodniejszego szukania d;
- dla wszystkich uzyskanych średnich i małych liczb pierwszych k wprowadzamy do kopca pary (n-k, k);- przechodzimy na kolejną warstwę a-1;
- powtarzamy, aż osiągniemy połowę pierwiastka kwadratowego z N, zwracamy że N jest liczb pierwszą;

Załóżmy N=893453
pierwiastek kwadratowy sqrt N = 2988, którego kolejny pierwiastek to 54.
Bierzemy listę liczb pierwszych mniejszych niż 55 i wprowadzamy do kopca w postaci (c2 oznacza konieczność sprawdzenia podzielności 2 przez N):
(2988, [c2,c3])
(2987, [c29])
(2985, [c5])
(2983, [c19])
(2982, [c7])
(2981, [c11])
(2977, [c13])
(2976, [c31])
(2975, [c17])
(2968, [c53])
(2967, [c23, c43])
(2961, [c47])
(2960, [c37])
(2952, [c41])

Przystępujemy do algorytmu:
pobieramy n=a=2988, które ma dwa dzielniki: 2 i 3. Po podzieleniu przez nie n (czasem kilkakrotnie uzyskujemy nową średnią liczbę pierwszą d=83.
Niezmiennik dostarcza a=2988, b=1, c=2921
Sprawdzamy, czy N jest podzielne przez 2, 3, 83, dzieląc c przez te wartości. Zawsze występuje niezerowa reszta, zatem odkładamy do kopca nowe pozycje (2988-83, [83]) = (2905, [83]), (2985, [3]), (2986, [2])
Pozycja wyznaczona przez 2985 przyjmuje teraz wartość (2985, [3, c5])

Następna pozycja (2987, [29]), wskazuje kolejną liczbę pierwszą 103. Ale poznieważ c było duże, możemy przenieść 2987 z c jako jedynkę do b uzyskując
nową postać niezmiennika a=2897, b=4, c=-64
Sprawdzamy obydwie liczby 'dzieląc' 64%29, 64%103, odkładając na kopiec kolejne dwie wartości (2884, [103]) oraz (2958, [29]).

I tak początkowo co iterację dostajemy nową liczbę pierwszą, którą sprawdzamy. Ale wkrótce mamy wziąć 2978, na kopcu jest (2978, [2]), i mamy rozkład 2978 = 2*1489. Jest to duża liczba pierwsza w myśl podziału. Wartości (1489, [1489]) nie odkładamy do kopca.
Wartość (2976, [2,3,c31]) ma rozkład wykorzystujący tylko te cyfry, d=1. Z niezmiennika, c urosło do 101, sprawdzamy 101%31. Przy następnej takiej wartości 2970 nie ma już nic do sprawdzenia - wszystkie użyte dzielniki zostały sprawdzone.
Nieco wcześniej mamy 2971, której to wartości nie ma w kopcu. Jest to duża liczba pierwsza d=2971, która jest za duża, by być dzielnikiem. Niezmiennik ma wtedy znacznie mniejsze c=256. 
W ten sposób znajdujemy kolejne liczby pierwsze; zeszlibyśmy z a do połowy 2988 czyli 1494, gdyby nie dzielnik, który znajdziemy dla pozycji o niezmienniku a=2174, b=1935 lub b=1936, c=|1087|, d=1087 = |c|.

Teraz modyfikacje.
Jeśli nie znamy wszystkich małych liczb pierwszych, możemy wywołać procedurę dla pierwiastka rekursywnie. Jednak wtedy każda znaleziona wartość pierwsza (także duza) generuje nowy obiekt do kopca do sprawdzenia. Przy wywołaniu rekursywnym niezmiennik jest nieistotny, nie porównujemy ani nie sprawdzamy. Uzyskamy w ten sposób tablicę liczb pierwszych.
Może być, że w petli głównej wartość jest iloczynem mniejszych liczb pierwszych, dla średnich liczb pierwszych wkrótce napotkamy kolejną warstwę z tym dzielnikiem, który powienien być lepiej widoczny (bo np. zmieni się parzystość). Ale dla dużych liczb pierwszych obawiam się przeoczenia tego dzielnika.
Na szczęście kierunek przechodzenia warstw można odwrócić.Proponowanym punktem startowym jest połowa pierwiastka z N, czyli w tym przykładzie a=1494, b=3a=4482 (choć lepiej 4486, gdyż wtedy c=-67).

18 grudnia 2019

Rozkład liczb, kolejny algorytm

Na początku grudnia opublikowałem zarys algorytmu, w którym podstawową ideą jest utworzenie płaszczyzny z liczby, oraz szukanie śladu dzielników dla dużych wartości.
Na razie coś mnie blokuje przed napisaniem tego w C++, ale jest już wersja w Pythonie.

Miałem kłopoty, jak szybko ominąć część kodu po znalezieniu małego dzielnika. Zdecydowałem się na pętlę.

[code python]
def nwd(a,b,s):
  if( 0==b ):
    return a
  if( a<b ): #swap(a,b)
    c=a
    a=b
    b=c
  while( 1 ): # zmniejszamy b, bo wiemy, ze sa one wzglednie pierwsze
    if( 0==b%2 ):
      b/=2
      continue
    if( 0==b%3 ):
      b/=3
      continue
    if( 0==b%5 ):
      b/=5
      continue
    if( 0==b%7 ):
      b/=7
      continue
    break
  if( 0==a%b ):
    return b
  a = a%b
  if( a+a>b ) :
    a = b-a
  if( s>a ): #zatrzyma: wiemy ze nie ma tak malych dzielnikow
    return 1
  return nwd(b,a,s)

def modstop(s):
# zwieksza s do najblizszej liczby nieparzystej nie podzielnej przez 3, 5, 7
  while( 1 ):
    s+=2
    if( 0==s%3 ):
      continue
    if( 0==s%5 ):
      continue
    if( 0==s%7 ):
      continue
    #break
    return s
 

s=7 # lub wiecej, jesli jestesmy pewni
n= duza liczba

a=int (sqrt n) # jak to policzyc na liczbach calkowitych?
#a=int (n**(0.5)) # blad w liczeniu pozniejszych operacji
b= 1+(n-a*a)//a
c= n-(a+b)*a # w algorytmie c<0, trzymamy je jako ujemna wartosc
print a,b,c, (a+b)*a+c # sprawdzenie niezmiennika (a+b)*a+c = n
while( 1 ):
  if( 0==n%2 ): # male dzielniki
    n /=2
    print "Dzielnik 2"
    break
  if( 0==n%3 ):
    n/=3
    print "Dzielnik 3"
    break
  if( 0==n%5 ):
    n/=5
    print "Dzielnik 5"
    break
  if( 0==n%7 ):
    n/=7
    print "Dzielnik 7"
    break
  while ( 1 ):
    f = a%s # obliczenie (a+b)*a+c modulo s czyli spr. male dzielniki
    e = ((f+b)*f+c)%s
    if( 0==e ):
      print "Dzielnik z modulo ",s
      break
    s = modstop(s) # zwiekszenie s
    e = nwd(a,-c,s) # nwd wyrazu wolnego i podstawy systemu
    if( 1<e ):
      print "Dzielnik ze sladu ",e
      break;
    a-=1 # pelni role podstawy systemu, zmniejszamy o 1
    b+=2 # wyrugowanie wplywu podstawy na wyraz wolny
    c+=b-1 # modyfikacja wyrazu wolnego
    if( 0==c ) :
      print "Dzielnik z wyrazu wolnego ",a
      break
    if( 0<c ) : // wyraz wolny wiekszy niz podstawa a
      b+=1
      c-=a
    #mozna wypisac - dla testow
    #print "liczba (1*",a,"+",b,")*",a,c,"  stop = ",s
    if( s>a ) : # duze lub male dzielniki nie znalezione, brak mozliwosci innych
      print "Liczba pierwsza ",n
      break
  break
[\code python]

Dla malych wartosci dziala. Dla liczby 90-bitowej po dobie liczenia iloraz wartosci do sprawdzenia do oszacowania dzielnika z dołu jest mniejszy niż 2000, następnego dnia poniżej 1000. Sprawdzane są równocześnie małe i duże kandydaci, dlatego zakres możliwości się zmniejsza z obu stron.
Drugiego dnia zostało sprawdzone około 0,1% wszystkich możliwości, zastosowany wzór: iloraz różnicy podstawy a i minimalnej możliwej liczby pierwszej s przez liczność początkową (a-s)/(sqrt n).  Można zatem spróbować oszacować czas przebiegu na tej maszynie na kilkaset dni. Choć podejrzewam istnienie przedziałów, w których po wejściu do nwd nastąpi od razu wyjście ( bo |c|<s ).

Mam jeszcze jeden pomysł związany z tą płaszczyzną, choć będzie wymagał sporo pamieci i moze być nieefektywny. Przechowywanie podstawy w postaci docelowo kanonicznej... Jako skutek uboczny pojawi się tablica liczb pierwszych.

9 grudnia 2019

Obliczanie silni większych liczb

Spróbowałem kilkoma sposobami obliczyć silnię ze 100.

W tym celu należy dobrze przygotować strukturę. Liczbę trzymam na liście dwukierunkowej o węzłach link postaci:
[int cyfra, link prev, link next, int flaga]
Okazało się, że same wskaźniki na sąsiednie cyfry prev oraz next nie wystarczą. Aby dobrze zaalokować liczbę na liście potrzebna była flaga, gdyż w przeciwnym przypadku były kłopoty z jednocyfrową liczbą 0. Nie była ona odróżniana od węzła pustego. Ponieważ węzły należały do dużego kontenera, szukanie w tym kontenerze wolnego miejsca na kolejną cyfrę wskazywało taką liczbę jako puste miejsce i nadpisywało...
Sama liczba ma dwa pola: link value oraz link baze. Składa się z cyfr dziesiętnych (docelowo), chwyconych za cyfrę najmniej znaczącą oraz podstawę systemu liczbowego.
Oprócz tego występują funkcje mnożenia przez 10 "mul0()" oraz przez małą wartość "mula( int a)". Dołączyłem także konwersje między systemami niedziesiątkowymi "convert (int new_baze)".

Wykorzystałem najpierw standardowe mnożenie dla liczenia silni z liczby n dla sprawdzenia wyników:
Liczba a; 
for( i=n; 0<i; i-- )
  a.mula(i);
a.show();

Następnie konwersje, by uniknąć kłopotów rozbiłem je na trzy fazy:
- liczenie 9! małymi iloczynami - by uzyskać odpowiednią wartość początkową;
- przekształcenie wartości do liczby w systemie o podstawie n;
- reszta obliczeń, by wynik wyszedł w dziesiątkowym:
Liczba a = 9!;
a.baze( n );
a.mul0();
for( i=n-1; 9<i; i-- ) {
  a.convert(i);
  a.mul0();
};
a.show(); 

Wreszcie rozklad kanoniczny czyli mieszanka konwersji oraz mul0() w odpowiednich systemach. I tu się sypało, uzyskana wartość była znacznie za mała.
W pozostałych też były kłopoty. Okazało się, że zarówno przy mnożeniu mula(int), jak i przy konwersjach nie mogę sobie pozwolić na przechowywanie reszt w dodatkowej zmiennej przechodząc między węzłami cyfr. Należy je przekazać sąsiedniej cyfrze zaraz po ich zaobserwowaniu. Inaczej czasem miewałem błędy oraz uzyskana wartość była zawyżana. 

A oto szczególy funkcji:
mul0() { // mnożenie przez 10 (dokładniej: przez baze)
link cyfr = t.add(); // nowy węzeł z kontenera;
cyfr.cyfra = 0;
value->next = cyfr;
cyfr->prev = value;
value = cyfr;
};
czyli zwykłe doczepienie węzła z zerem na końcu liczby i uchwycenie go jako liczby.

mula( int a ) {}
// pierwszy przebieg: mnożenie każdej cyfry liczby przez a
link b = value;
while( b ) { b->item *= a; b=b->prev; }
// przeniesienia wartości
b = value;
int s=0;
while( 1 ) {
  s = b->cyfra;
  b->cyfra = s% 10; // system dziesiątkowy
  s /= 10;
  if( s ) {
    if( b-> prev ) b->prev->cyfra += s;
    else {
       link c=t.add();
        c->cyfra = s;
        c->next = b; b->prev = c; // przypięcie węzła cyfry najbardziej znaczącej
    }
  };
  s=0;
  if( b->prev ) b = b->prev; else break; 
};

Konwersja też jest podzielona na dwa moduły, w pierwszym wymagana jest liczba dwucyfrowa oraz ustawienie węzła blokującego b na cyfrę poprzedzajacą najbardziej znaczącą. Drugi węzeł link c przebiega cyfry bardziej znaczące od b ze wzorem s = cyfra*r, której część całkowita zasila bieżącą cyfrę wskazywaną przez c, zaś reszta jest odkładana do cyfry mniej znaczącej c->next->cyfra. Podstawa baze maleje, zatem wartość liczby rośnie.
int r = baze->cyfra - new-baze;
int s=0; 
// modyfikacja pól baze
link b = value;
while( b->prev ) b = b->prev;
while( 1 ) {
  if( b->next ) b = b->next; else break;
  c = b->prev;
  while( 1 ) {
    s = c->cyfra * r;
    c->cyfra += s/new_baze;
    c->next->cyfra += s % new_baze;
    if( c->prev ) c = c->prev; else break;
  };
  c=b; ... // druga część
};
W drugiej części zmieniamy kierunek c=b oraz przenosimy nadmiary podobnie jak przy mnozeniu mula(int).
Potem przesuwamy b = b->next; aż przekształcane będą wszystkie cyfry liczby.

Obydwoma sposobami w przeciągu sekund wypisało mi wartość wszystkich 158 cyfr dziesiętnych silni 100!

3 grudnia 2019

Algorytm największego wspólnego dzielnika

Klasa największego wspólnego dzielnika.
Wiemy skąd inąd, że jeśli wartości zmniejszą się poniżej wartości zewnętrznej stop, liczby są względnie pierwsze.
Jak modna hermetyzacja, to proszę :) Bardziej zahermetyzować się już chyba nie da.

class Gcd {
private:
  Liczba a, b;
  Liczba( Liczba an, Liczba bn ) : a(an) b(bn) {};
  Liczba ngcd();
  friend Liczba nwd(Liczba a, Liczba b);
};

Liczba Gcd :: ngcd() {
  if( a<b ) swap(a,b);
  a = a%b;
  if( !a ) return b;
  if( a+a>b ) a = b-a;
  if( a<stop ) return Liczba(1);
  return ngcd();
};

Funkcja wywoławcza:
Liczba gcd( Liczba an, Liczba bn ) {
  Nwd c(an,bn);
  return c.ngcd();
}; 

Algorytm jest nieco szybszy niż klasyczny. Warunek a+a>b pozwala jeszcze raz zabrać b uzyskując wartość ujemną w a, do której w następnym kroku byśmy dodawaii. Mnożenie przez (-1) pozwala przywrócić wartość dodatnią, co odbywa się niejawnie.
 Wartości funkcji są zewnętrzne do wywołania funkcji rekursywnej, dzięki czemu jest mniejsze zużycie stosu pamięci. Można pójść dalej, w funkcji gcd utworzyć petlę nieskończoną wywołującą c.ngcd(), która zwraca wartość np. -1 jak ma liczyć dalej, 0 jak względnie piersze lub 1 gdy zwracana Liczba jest już w b. Czy wtedy będzie jeszcze widać, że ta funkcja jest rekursywna?

Algorytm rozkładu z płaszczyzny uzyskanej z liczby

W połowie listopada podałem, jak z liczby n zrobić płat F(b,d)=c o niezmienniku
n = d^2+bd+c = d(b+d)+c
Okazało się, że zarówno dzielniki, jak i ich wielokrotności tworzą łatwo wykrywalne cięcia przy stałych d, z których łatwo znajdziemy dzielniki. Im mniejszy dzielnik, tym tych specyficznych cięć jest więcej, regularnie rozłożonych. Oznacza to, że możemy ograniczyć się tylko do badania liczb bliskich pierwiastowi kwadratowego z liczby rozkładanej.

Algorytm wygląda zatem następująco:
szukamy pierwiastka liczby sqrt n; jego wyraz wolny równy 0 wyznacza rozkład z pierwiastka;
obliczamy wartość modulo mała liczba stop z wyrażenia d(b+d)+c; możemy też teraz zwiększyć stop;
obliczamy największy wspólny dzielnik wyrazu wolnego c oraz podstawy d, co sprawdza przynależność do tego specyficznego cięcia;
przejście na sąsiednie cięcie płata F:
d--;
b+=2;
c+=b-1;
czasem tak uzyskana wartość c jest większa niż podstawa d, zmniejszamy ją w pętli o operacjach przypominających przeniesienie między cyframi liczby w systemie pozycyjnym
{ b++; c-=d; }
jeśli uzyskamy 0=c, poznamy dzielnik. 
Kryterium stopu jest
stop > d
po spełnieniu którego wiemy, że liczba jest pierwsza.

Dochodzi kilka drobnych, lecz istotnych szczegółów. Możemy przyspieszyć wzrost wartości stop do kolejnych liczb niepodzielnych przez 3, 5, 7 (oczywiście większych niż 7, by ewentualny tak mały dzielnik nam nie umknął). Oznacza to, że stop staje się minimum z badanych wartości, co możemy uwzględnić w liczeniu największej wspólnej wielokrotności. Nachylenie tej krzywej dyskretnej stop(d) jest między 2d a 10d. Od dużych wartości jest ograniczone przez d, Zmniejsza to obszar poszukiwań pierwiastka.
Jeżeli iloraz dzielników liczby n=p*q, czyli p/q>1, napotkamy po drodze więcej niż jedno cięcie wskazujące dzielnik. Zatrzymujemy się na pierwszym. Na ogół wtedy znaleziony wspólny dzielnik jest iloczynem małej wartosci i dzielnika n. Może być parzysty, dlatego nie możemy wykluczyć parzystych wartości d. Potrzebne będzie wtedy jeszcze jedno liczenie znalezionego wspólnego dzielnika z liczbą rozkładaną n.

Kod zwiększania wartości stop jest następujący:
if( nie_podzielne(...) ) // test: stop | d(b+d)+c
else while(1) {
  stop+=2;
  if( 7<stop && (!(stop%3) || !(stop%5) || !(stop%7)) ) continue;
  else break;
};

Kod obliczania dzielnika podam w kolejnym poście. Jest zbyt specyficzny i pozwoli zerknąć na nowe możliwości obliczania funkcji rekursywnych. 

23 listopada 2019

Programowanie wskaźnikami, paradygmaty

Omijając kłopoty związane z obsługą wskaźników w C, na jeden biegun podążyli twórcy Javy - eliminacja wskaźników z widocznych obszarów (interfejs ma inne znaczenie). Ja postanowiłem podążyć na drugi bierun - eliminacja zmiennych.

Dane nie są trzymane w zmiennych, lecz w wskaźnikach.
Różnice w implementacji:
- zabroniona instrukcja * pointer = variable - uszkodzi system wpisując coś w obszar pamięci, który nie powinien być edytowany
- instrukcja pointer = &variable, wskaźniki inicjujemy w inny sposób, ten zwróci losowy fragment pamięci

- inicjowanie wskaźnika, pomocniczy wskaźnik zerowy pp, by uzyskać odpowiednią długość komórki pamięci, sizeof(char) = bajt,
const char * const pp=0;
oraz instrukcja pointer = pp+constans,
wtedy wskaźnik wskazuje obszar pamięci zastrzeżonej, może przechwycić dowolną klasę, liczbę całkowitą, w szczególności także znak, a nawet 4-znakową nazwę funkcji.
- zmiana wartości do dodanie, odjęcie czy inna operacja, ewentualnie po konwersji wskaźnika na int
- podstawienie, kod wygenerowany kompilatorem jest wystarczający, odpada tworzenie kopii zmiennej


W ten sposób cały program można zapisać tablicą, listą, drzewem klas.
Idę dalej - pierwszy bajt zawiera informację o danej klasie, w szczególności jej nazwę. Chodzi o poprawne zinterpretowanie pola, bo tu już typologia kompilatora może zawieść.
Możliwe pomyłki - nie przechwytujemy całej klasy, lecz jej składową. Wtedy program może się posypać, gdyż nie widzi pól klasy.
W dotychczasowych próbach nawet mimo krytycznego błędu program grzecznie ogranicza się tylko do zadanego obszaru pamięci, i może nawet zwrócić wartość 'wszystko zadziałało poprawnie' mimo fatalnych naruszeń obrabianych danych.  

Ciąg dalszy nastąpi, kiedy dopracuję programowanie wielowątkowe wskaźnikami pod DOSa. Wtedy podam budowę podstawowych węzłów pamięci tego podejścia i sposób ich trzymania.