Mam palindrom nad systemem niedziesiątkowym. Czy mogę przejść na inny palindrom mający tę samą resztę?
Jest to możliwe, rozkładając na czynniki wartość stojącą jako druga najmniej znacząca. Wtedy wystarczy konwersja zmiany systemu na wielokrotność podstawy systemu, oraz naprawa uszkodzonego przekształceniem palindromu.
W ogólności nie można tego zrobić, gdyż wartość na pozycji najmniej znaczącej jest zależna od dzielników liczby zapisanej palindromem. To znaczy, jeśli chcemy zachować resztę 1, a liczba należy do orbity 3N+2, w systemie trójkowym nie uzyskamy palindromu z resztą 1 na pozycjach skrajnych.
Jaki jest związek palindromu z hiperbolą? Przekształcenie niezmiennicze palindromu nad systemem wyraża się prostym równaniem nieliniowym, będącym akurat równaniem hiperboli, co zaraz uzasadnię.
W szczególności, nawiązując do szukania dzielników liczb. Niezmiennikiem wartości palindromu N = [a, b, a]_2 nad systemem binarnym jest [a+2, b-5, a+2]_2, a ogólniej N = [a+2k, b-5k, a+2k]_2 dla dowolnego k całkowitego.
Dzielniki występują wtedy, gdy każdy współczynnik palindromu jest podzielny przez pewną wartość d: [ad, bd, ad]_2. W szczególności wspólny dzielnik nwd(bd, ad) >= d >1. Załóżmy więcej, nawet wielokrotność b = sa. Wykorzystując niezmiennik, rozwiążemy równanie b-5k = s(a+2k). Uwzględnimy jeszcze, że N jest nieparzyste, zaczniemy od a=1, do b odłożymy największą (nad systemem binarnym) wartość i dostajemy zależność:
(N-5)/2 - 5k = s(1+2k)
w liczbach całkowitych. Sprowadza się ona do równania hiperboli
2ks + 5k + s - n = 0 , n jest stałą n = (N-5)/2.
Punkty kratowe tej hiperboli są związane z dzielnikami liczby N. Gdyż po wstawieniu rozwiązania (k,s) mamy wartość dzielnika (1+2k) na pozycji skrajnej palindromu.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz