Kiedy operuję konwersjami dzielącymi przez 3 i jej potęgi, działam tylko na nieparzystych cyfrach w systemie Fibonacciego. Pojawił się pomysł, aby zapisać liczbę wypisując tylko te cyfry z systemu Fibonacciego. Wtedy na pozycjach tych występują tylko 0, 1 i 2.
Kiedy przyglądałem się temu, zauważyłem niezwykłe podobieństwo do systemu trójkowego, Jest jednak drobna różnica. Przekształcam konwersjami postać:
0020200 = 0021001 = 0110001 = 1000001
Wypisuję co drugą cyfrę 0220 = 1001. I tu kryje się modyfikacja.
System Fibonacciego utożsamia ze sobą wszystkie postaci 220, 221, 222, 1000, 1001 systemu trójkowego. Gdy liczba kończy się na 22, ostatnie '01' jest ignorowane. Istotne tu są zwłaszcza te trzy z podciągiem '22', które praktycznie nie mają prawa wystąpić w systemie Fibonacciego.
Wyłączmy zatem n krotność 22_3=8d oraz iloczyn 5 z krotnością wystąpień '22x' dla wszystkich możliwych pozycji '22' w reprezentacji trójkowej.
Dodajmy do n te krotności i zapiszmy przybliżenie liczby w systemie trójkowym.
Np. 59 /8 = 7, 59/24*5 = 10, 59+7+10=76 = 2211_3;
74/8 = 9, 74/24*5 = 15, 74/72*5 = 5, 74+9+15+5 = 103 = 10211_3.
Rozpisując teraz uzyskane cyfry systemu trójkowego jako pary cyfr systemu Fibonacciego uzyskamy dosyć dobre przybliżenie wartości systemu Fibonacciego z nadmiarem, uzyskanego schematami z dzieleń [00300]=[100001]. Biorąc mnożnik 3 zamiast 5, uzyskamy przybliżenie z niedomiarem.
Jest to hipoteza, sprawdzona na kilku przypadkach.
Tak 2211_3 daje liczbę 2020101 = 62d przy wartości uzyskanej 59d=2020001;
10211_3 daje 100020101 = 75d przy wartości uzyskanej 74d=100020100.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz