18 sierpnia 2008

Znajdowanie pierwiastków wielomianów wyższych stopni

Galois wykazał, że nie istnieją wzory analityczne na pierwiastki wielomianów stopnia wyższego niż czwarty. Pierwiastki wymierne wskazał Bezout - w postaci unormowanej (współczynnik przy najwyższej potędze x jest równy 1) pierwiastki są dzielnikami wyrazu wolnego -- tego bez x.
Dla pierwiastków niewymiernych wielomianów stopnia większego niż czwarty stosuje się metody numeryczne.

Istnieje jednak sposób znajdowania pierwiastków niewymiernych równań wyższych stopni. Na razie przetestowałem go dla równań szczególnych siódmego stopnia.
Sposób sprowadza się do wyłączania z wielomianu unormowanych trójmianów kwadratowych
,,x^2 + ax+b''
Początkowo a i b nie są znane. Co nie przeszkadza podzielić przez taki trójmian.
W wyniku uzyskuje się niezbyt miłe wzory na resztę postaci
cx+d=0
Wyrażenia c i d są wielomianami zmiennych a i b. Należy rozwiązać ten układ równań względem a i b :o
Względem a są to wielomiany stopnia o jeden lub o 2 mniejszego niż wielomian początkowy, w moim przypadku stopnia 6 i 5, ale to niezbyt przeszkadza. Wielokrotne pomnożenie jednego przez a, drugiego przez b oraz ich suma bądź różnica obniżą ten stopień do 3 względem a, a 4 względem b.

Uzyskuje się wielomian stopnia 4, ktory rozwijamy względem b. Ten wielomian może mieć jeden ze współczynników przy b^3 albo przy b^0 bardzo prosty, skąd wyruguje się, być może wymierne a. Znając a łatwo wyznaczyć b, też najlepiej wymierne.

Kiedy zna się a oraz b, wiadomo już, przez co się dzieliło, czyli znalezione jest równanie kwadratowe zawierające dwa pierwiastki. Wyjściowe równanie też jest prostsze.

Istnieją też numeryczne odpowiedniki wyłączania trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych, co widzę po działaniu niektórych programów matematycznych. Niemniej zatrzymują się one, gdy współczynniki przestają być całkowite. Sposób wyżej podany działa (w testach) dla dowolnych pierwiastków algebraicznych.