Zapragnałem już pisać w C++ prototyp podejścia wielowątkowego relacyjno-funkcyjnego pod DOSa, kiedy pomyślałem sobie obejrzeć liczbę w systemach będących kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Spodziewałem się, że pojawią małe reszty. Myliłem się.
Pojawiły się za to inne proste zależności. Mianowicie wiedziałem od początku, że nie będę musiał szukać kolejnego kwadratu siłowo. Różnica między p^2 oraz (p+2)^2 wynosi 4(p+1). Kiedy p jest nieparzyste, różnica ta jest kolejną wielokrotnością 8. Wynika to z p=2k+1, stąd 4((2k+1)+1) = 8k+8. Wartość k ma znaczenie w przebiegu i jest wykorzystywana.
Dla liczby n, począwszy od wartości p spełniajacej warunek p^4>n, dostajemy liczby 'dwucyfrowe' [a, b]_{p^2}:
n = a*p^2 + b = a*(2k+1)^2 + b.
Zatem liczb mających więcej niż 3 cyfry jest zaledwie pierwiastek czwartego stopnia.
Zwiękzając p, wartość a z początku bardzo szybko maleje, lecz gdy 8ak<p, pojawia się prostsza zależność.
Normalnie obliczałem odległość do kolejnego pierwiastka z p+1 do p+3, oraz zwiększałem zapamiętaną podstawę systemu o 8. W ten sposób znałem nową podstawę systemu bez podnoszenia do kwadratu, lecz przez dodanie sumy narastajacej o stałą. Teraz wystarczyło przekonwertować liczbę do odpowiedniego systemu.
Kiedy 'cyfra dziesiątek' a była odpowiednio mała, w szczególności spełniała warunek 8ak<p, okazało się, że konwersja sprowadza się do odjęcia stałej wartości 8a od b. Zatem można ją było zastąpić zwykłym odejmowaniem oraz naprawą w postaci, gdy b było ujemne operacjami
b=b+p^2; a=a-1
oraz oczywiście p=p+2.
Przy stałym a reszty b (wzrost p) tworzą ciąg malejący. Dla małych a wykres jest piłokształtny, a ciąg lokalnych maksimum b tworzy ciąg rosnący. Przejścia są proste, nie wymagają mnożenia ani dzielenia, jedyne co trzeba pamiętać od pewnego momentu i modyfikować to wartości
{a, b, k, p^2}.
Wartość a maleje jak 1/x, b ma charakter piłokształtny, k rośnie liniowo, p^2 rośnie kwadratowo, lecz wyznacza się je liniowo.
Najgorsze operacje to mnożenie 8ak po zmianie a, gdy a jest duże, oraz odejmowanie tej wartości od b. Oczywiście wtedy b staje się ujemne, oraz trzeba je skorygować dodając odpowiednią krotność aktualnego p^2.
Kolejnym niemiłym elementem jest znajdowanie dzielnika d, że n = d*q. Otóż wtedy d dzieli także b. Zatem mamy dzielenie (często dużych wartości) b przez d=(2k+1). Czyli to samo co w sposobie 'trial division'.
Wartości b były duże, gdyż p^2 dążyło do n. Tak więc metoda nie jest lepsza niż trywialne dzielenie przez kolejne wartości. Może tylko nieco dłużej utrzymuje mniejsze liczby dla dzielenia.
Metodę można bardzo łatwo odwrócić zaczynając od pierwiastka p^2<n<(p+3)^2, p nieparzyste. Wtedy zmniejszamy p, obliczenia przez pewien czas są bardzo proste, dopóki nie zaczynamy dodawać (konwersja) wartości większych niż podstawa p^2. Wtedy lepiej zmienić sposób, lecz kandydatów na dzielniki jest już stosunkowo mało (szacuję na parędziesiąt procent).
Metoda zasugerowała jednak kolejny sposób, w którym można badać równocześnie dwóch kandydatów na dzielniki. Przypadek ten jest obecnie sprawdzany.
