Kilka spostrzeżeń dotyczących własności podstawa vs dzielniki liczby

Tak podglądam sobie zachowanie liczb podczas konwersji.  Chcę teraz podsumować główne spostrzeżenia.

Jeśli natrafimy na miejsce, gdzie dla podstawy nieparzystej mamy na pozycji jedności zero, mamy dzielnik. Z kolei, gdy dla podstawy parzystej mamy sumę cyfr równą dzielnikowi, albo naprzemienną sumę cyfr równą 0, mamy dzielnik na sąsiedniej pozycji.
Krotność obliczeń jest nie większa niż ta potęga dwójki i = 2^k, gdy i<=sqrt n < 2i.
Zatem przegląd zupełny może biec tylko po liczbach trój- oraz dwycyfrowych. Konwersja o 1. Cyfra setek przyjmuje wtedy jedną z czterech wartości: 0, 1, 2, 3. Małe liczby pierwsze mają silne ślady w tym przedziale.
Znalezienie dzielnika zamiast rozkładu całej liczby, sprowadza się do rozkładu podstaw systemów oraz obliczanie największego wspólnego dzielnika podstawy z cyfrą jedności. Podstawa nieparzysta odsiewa duże liczby, podstawa parzysta (można wyłączyć dwójki) odsiewa mniejsze liczby, m. in. pierwsze. Można zastosować sito modyfikując podstawę systemu, by sprawdzać kandydatów nie więcej niż raz.

Jeśli chcemy zmniejszać krotność sprawdzanych przypadków, dla podstaw parzystych zapis liczby jest w postaci:
[a, b+a, b+r] _p
przy podstawie p jest nieliniowy, ale zachowuje się na tyle gładko, że r jest przedziałami monotoniczne. Dzielnik towarzyszy jednej z dużych zmian wartości r.

I zapraszam na łowy! Dla jakiej podstawy dzielnik jednocyfrowy liczby staje się dwucyfrowy?

Inne spojrzenie na konwersję

Mamy dwa sposoby podejścia do konwersji, rekursywny, który najczęściej stosuję, oraz iteratywny, korzystający pośrednio z wzorów skróconego mnożenia typu (a+kb)^i.
Szukanie rozkładu to dla mnie jest już szukanie systemu, w którym cyfra najmniej znacząca, cyfra jedności jest zerem, albo suma cyfr jest wielokrotnością podstawy systemu. W obu przypadkach zmienia się krotność cyfr zapisu dzielników liczby.
Zapis może zmienić sposób patrzenia, oraz ujawnić nowe możliwości. I tak się stało niedawno.

Skoro liczbę złożoną można przedstawić jako [a, a]_p, to będę odejmował stałą wartość takiej postaci od liczby. Po drobnych kłopotach z zapisem, okazało się, że jest to przekształcenie iteracyjne konwersji.

Najpierw sposób. Mam liczbę w postaci ciągu cyfr w systemie pozycyjnym o podstawie p. Chcę zabrać równowartość cyfry najbardziej znaczącej.
Tworzę wielomian współczynników Newtona mnożonych przez kolejne potęgi dwójki, np.
[1, 12=2*6, 60=4*15, 160=8*20, 240=16*15, 192=32*6, 64]
oraz w liczbie n za pomocą przeniesień nadaję poszczególnym cyfrom wartości większe niż w wielomianie, np.  z liczby n = [5, 0, 5, 2, 3, 1, 7] _p=11 tworzę:
[1, 36, 71, 163, 246, 192, 66]_11
Po odjęciu wielomianu po pozycjach mam wartość o mniejszej krotnosci cyfr (początkowe zero do zignorowania):
[0, 24, 11, 3, 6, 0, 2]
z którą postępujemy analogicznie. Kończymy gdy uzyskamy jedną cyfrę.
Odjęcie wartości wielomianu jest odjęciem wielokrotności potęgi 13. Początkowe cyfry (odejmowane) tworzą zapis cyfr systemu trynastkowego właśnie dzięki wielomianowi (11+2)^6  .

I tak powstał nowy zapis sposóbu konwersji, mający więcej obliczeń niż wersja rekursywna.

Jako wniosek, zauważam, że skoro suma cyfr ma być wielokrotnością podstawy, to dla liczby zapisanej w postaci potęg dwójki w miejscu cyfr poza cyfrą jedności, np. [8, 4, 2, 7]_ 31 nia ma szans na dzielniki bliskie 31, 62, 124 itd. przy podwajaniu podstawy. Bo przy konwersji p*2 suma cyfr maleje. Zaś dla dzielnika ma sięgać podstawy.  Suma cyfr może wzrosnąć tylko podczas przeniesienia jedynki do cyfry mniej znaczącej, tu o połowę podstawy. Stąd dwa przeniesienia, i suma cyfr wzrasta powyżej podstawy systemu (podwojonemu).
Możemy nawet wzmocnić ograniczenie, by było tylko jedno przeniesienie i suma odpowiednio mała, by zigrorować szukanie dzielników w okolicy.
Uwaga - przeniesienia mogą się propagować, jak przy [7, 4, 4, 1]_p = [3, n+p/2, 2, 1]_2p.