Każdą liczbę można przedstawić jako palindrom nad jakimś systemem, np. binarnym. Jest to wielomian o współćzynnikach całkowitych, którego współczynniki po odpowiednim przesunięciu są izomorficzne z cyframi tego systemu pozycyjnego.
Jest nieskończenie wiele możliwości zapisu, np.
51 = 5 13 5, bo 5*4+13*2+5*1 = 20+26+5 = 51
albo
51 = 7 8 7, 7*4+8*2+7*1 = 51
ale także
51 = 3 4 4 3
Ta ostatnia postać może mieć zastosowanie w szukaniu rozkładów liczb, gdyż jest iloczynem
a b b a = c d c * e e
a = ce, b=de+ce = (c+d)e.
Okazało się jednak, że podobną postać uzyskuje się nie tylko dla wartości związanych z dzielnikami.
Okazuje się także, że tylko niektóre liczby można przestawić jako (e e), zależy to od postawy systemu, i w binarnym podobnie jak w dziesiętnym liczba (cała) musi mieć dzielnik 3.
Aby szukać dzielnika liczby, mnożymy ją najpierw przez 3, a następnie zapisujemy jako palindrom (równoważne dzieleniu przez 8+4+2+1= 15), zaś trzykrotność reszty leciutko wpływa na współczynniki, np. reszta 1 modyfikuje a=3n/15 do palindromu:
(a-1) (a+2) (a+2) (a-1)
reszta 2 daje po prostu
a (a+1) (a+1) a
To punkt startowy, następnie modyfikacje: a-=2, b+=3 nie zmieniają wartości całości palindromu (a b b a), choć zmieniają wygląd:
51 = 1 7 7 1 = 3 4 4 3 = 5 1 1 5
I teraz przegląd w szukaniu dzielników. Weżmy 3*143, które można zapisać
3*143 = 29 28 28 29
Przeglądając ciągle modyfikujemy różnie zapisane 143, aż natrafimy na:
3*143 = 13 52 52 13
Wszystkie wartości są podzielne przez 13, znaleziony dzielnik. Podobnie jest z
3*143 = 11 55 55 11
czyli 11* (1 5 5 1).
I mamy cechę charakterystyczną dzielników: w palindromie a b b a wartość a dzieli b bez reszty, wtedy dzielnikiem całości jest a.
Jest to najbardziej narzucający się zapis wielokrotności, znany mi z niemal wszystkich systemów o podstawach zależnych od liczb całkowitych.
Myślałem jeszcze nad przypadkiem iloczynu
(a b a) * (c d a) = (ac) (ad+bc) (2ac+bd) (ad+bc) (ac)
w którym jedną wartość traktujemy jako stałą, drugiej modyfikujemy postać, ale jest tu pewien kłopot - należy rozdzielić wartość na sumę sumy czynników i ich iloczynu.
