Zastanawiało mnie, czy można wykorzystać fakt, że przy przechodzeniu na kolejne systemy, liczba złożona w pewnym momencie zmienia długości swoich dzielników, czyli krotność cyfr.
Na przykład, liczba w pewnym systemie liczenia jest trójcyfrowa. Czy jest ona iloczynem dwu liczb dwucyfrowych, jak np. 11*13 = 143. A może jest iloczynem liczby jednocyfrowej przez dwucyfrową, jak 61*7 = 427.
Punkt graniczny, liczba 10 z iloczynem a*10= [a,0]_p jest przypadkiem granicznym, przy okazji dzielnikiem.
Już widać na tych przykładach, że wielkość liczby złożonej nie jest wyróżnikiem.
Pomyślałem o niezmienniku - druga różnica cyfry jedności, oczywiście odpowiednio dostosowanej. Czyli dla podstaw rosnących p, p+1, p+2 cyfra jedności ma tworzyć ciąg lokalnie monotoniczny malejący, co uzyskamy przenosząc jedynkę z cyfry dziesiątek. Warto też zadbać o to, by cyfra setek a była taka sama.
Sprawdzam na przykładzie, i rzeczywiście, dla podstaw odpowiednio małych liczba będąca iloczynem dwu liczb 'dwucyfrowych' daje drugą róznicę minimalnie większą od 2a. Zaś dla podstaw na tyle dużych, by była iloczynem liczby jednocyfrowej, jest nieco mniejsza. Ale to przykład, należy zgeneralizować.
Z teorii, druga róznica przy tak dopasowanym ciągu jest zawsze równa podwójcej cyfrze setek 2a, z wyjatkiem skokowych zmian towarzyszących przenoszeniom z udziałem cyfry dziesiątki. Ale szczegółowy obraz pokazuje coś innego. Owszem, jest tendencja . do zmniejszania się przyrostu wraz ze wzrostem podstawy. Ale ten przyrost jest na tyle mały, że nie widzę możliwości zastosowania go praktycznie.
Dodatkowo, przy niektórych wartościach następuje 'rozchwianie' monotoniczności lokalnie generowanych ciągów. I to akurat także w pobliżu szukanej wartości.Może się opłacać tylko przy zgrubnym szukaniu dzielników: 'tam daleko wydaje się istnieć'.
Czy istnieje jakiś sposób oszacowania, kiedy liczba trójcyfrowa złożona jest iloczynem dwu liczb dwucyfrowych?
Wykluczamy znajomość dzielników i przegląd...
