Goldbach pyta Eulera w liście: Czy każda liczba parzysta jest sumą dwu liczb pierwszych?
Euler nie potrafił odpowiedzieć. Problem trafił na sumę problemów do rozwiązania.
A oto kilka moich spostrzeżeń: suma liczb pierwszych większych niż 2 jest zawsze parzysta. A czy liczba parzysta jest sumą liczb pierwszych? Wiele prób, choć już pojawił się dowód słabszej wersji, wspomniany w Wikipedii pod hasłem 'hipoteza Goldbacha'.
Każdą liczbę nieparzystą, w tym liczby pierwsze różne od 2 także, można przedstawić jako różnicę kolejnych kwadratów:
f(p) = a*a - (a-1)*(a-1)
I tak f(2) = 2*2 - 1*1 = 4-1 = 3
f(3) = 3*3 - 2*2 = 5
f(4) = 4*4 - 3*3 = 7
f(5) = 5*5 - 4*4 = 9
f(1) = 1*1 - 0*0 = 1 (dla Golbacha -- u niego 1 była liczbą pierwszą)
i tak dalej...
Dodajmy do siebie:
f(a) + f(b) = a*a - (a-1)*(a-1) + b*b - (b-1)*(b-1) =
(a-b+1)*(a+b-1) + (b-a+1)*(a+b-1) =
2*(a+b-1)
Parzysta...
Poszukajmy okresu, czyli orbit jednego dzielnika:
jeśli k dzieli f(a), to k dzieli f(a+k):
f(a+k) + f(a) = 2*(a+k+a-1) \equiv 2*(2*a-1) = f(a)+f(a) \equiv 0 modulo k.
Kiedy f(a) jest liczbą pierwszą; może lepiej spytać: kiedy f(a) NIE JEST liczbą pierwszą:
dla 3 = f(2): f(5) = 9, f(8) = 15, f(11) = 21, ...
Pierwsza wartość jest, powstała orbita f(5+3N) to liczby złożone.
Dla 5 = f(3): f(8), f(13), f(18), ogółem f(8+5N) to liczby złożone.
Szybko: f(4+7+7N) = f(11+7N) to liczby złożone..., kwadrat 7 to f(25).
Podobnie dla kolejnych liczb pierwszych, kwadrat jakiejś liczby generuje orbitę liczb złożonych, nawet z kilkoma wartościami wcześniej, te dodatkowo wpadają w orbitę mniejszej liczby pierwszej.
Niezwykle przypomina to sito Eratostenesa, chociaż mamy więcej liczb pierwszych niż w sicie, zatem własności sita Eratostanesa są ograniczeniem górnym. Liczb pierwszych wyznaczonych przez f() jest nieskończenie wiele, nawet więcej niż oszacowanie górne n/(lg n), ale w granicy... Interesują nas liczby spoza orbit, czyli pierwsze.
Przejdżmy do pytania Golbacha w mocnej wersji. Mam liczbę parzystą 2n, czy jest ona sumą dwu liczb pierwszych?
Wystarczy dopasować takie a oraz b, by a+b=n+1 oraz by ani f(a), ani f(b) nie znalazło się na żadnej z orbit wyznaczonych przez liczby pierwsze przez f(). Orbity są na tyle 'dziurawe', że raczej znajdzie się miejsce na parkę, a może nawet więcej możliwości.
Np. 2n = 156: a+b=78+1, suma liczb pierwszych 156 = 17+139 czyli f(9)+f(70), zaś f(a) dla a<9 niemal zawsze wpada we wspomniane orbity. Wyjątkowe jest 13: dzielnik 156, które mi namieszało w poszukiwaniach sugerując siebie.
