Konwersje z systemu o podstawie p na p*q generują proste przekształcenia, które można zastosować np. na przekształcenie z systemu binarnego na dziesiątkowy i odwrotnie. Wykorzystywana jest konwersja
a_n(p^n q^n) + ... + a_1 (p*q) + a_0 = q^n a_n * p^n + ... + q a_1 *p + a_0 .
Czyli potęgi q są w podstawie, a po drugiej stronie w 'cyfrach'.
Korzystamy cały czas z założenia, że tymczasowo na miejscu cyfr stoją liczby. Następnie przeniesieniami 'naprawiamy' liczbę.
Mając liczbę [a_n ... a_0] w systemie o podstawie p, z każdej cyfry a_i wyłączamy wielokrotność q
a_i = b_i*q+c
wstawiając w miejsce a_i wartość b_i (dzieląc po prostu zmodyfikowaną wartość a_i przez q). Resztę c przy i dodatnim przenosimy do 'cyfry' mniej znaczącej
a_{i-1} = a_{i-1}+p*c.
Dla i=0 zostawiamy - jest to cyfra w systemie o podstawie p*q.
Do 'liczby' [b_n ... b_1] stosujemy rekursję. Cyfra najmniej znacząca nie jest brana pod uwagę aż do powrotu z rekursji.
Przykład. Przedstawić 1000 0010b w dziesiątkowym.
Mamy p=2, q=5, zatem przy przenoszeniu pozostawiamy piątki. Bardzo szczegółowo:
2 0 0 0 0 1 0
4 0 0 0 1 0
5+3 0 0 1 0
5 5+1 0 1 0
5 5 2 1 0
5 5 0 5 0
5 5 0 5 0
cyfra najmniej znacząca 0, liczbę b = [1 1 0 1] poddajemy rekursji:
1 1 0 1
5 3
Następną cyfrą jest 3, i uzyskujemy ciąg jednoelementowy, który daje najbardziej znaczącą cyfrę 1.
Wracamy uzyskując 1000 0010b = 130.
Jeśli chcemy liczbę z systemu o podstawie p*q przedstawić w systemie o podstawie p, odcinamy cyfrę najmniej znaczącą, po czym mnożymy przez q. Następnie stosujemy rekursję do wyniku póki liczba nie 'zniknie' i 'naprawiamy'.
Przykład. przedstawić dziesiątkowe 128 w piątkowym.
Ponieważ 10=2*5, mnożymy cyfry przez 2 po odcięciu cyfry najmniej znaczącej 8:
2 4
Rekursja po odcięciu 4:
4
Powrót: 4 4 8
Naprawa: 4 4 8 => 1 0 0 3, czyli 128 = 1003_5. Zgadza się, 128 = 5^3+3.
Przekształcenia te mogą być pomocne przy moim ostatnim pomyśle na faktoryzację, w którym znajduję własności dzielników liczby nie znając tychże. Na razie go nie upubliczniam, w metodzie porównuję zbiory rozwiązań bardzo prostych kongruencji nieliniowych.
