Liczby p-gładkie to takie liczby złożone, których wszystkie dzielniki nie są większe od wartości p.
Tak liczbami 3-gładkimi są wszystkie potęgi 2, 3, 6, ... Te wszyystkie, których jedynymi dzielnikami są 2 oraz 3.
Dopasowałem wzór, dzięki któremu mogę przeskakiwać między podobnymi do siebie liczbami gładkimi (co tu oznacza, że różnią się zaledwie paroma dzielnikami, pozostałe są takie same).
Wzór jest niezmiennikiem wartości będącej różnicą:
a*(c+d) - b*d = a*c - (b-a)*d .
Dodaję do składników jakąś liczbę całkowitą dobraną tak, by któryś z dzielników przekształcił się na inny. Najciekawszy efekt występuje wtedy, gdy liczby są p-gładkie dla p osiąga wartość pierwiastka czwartego stopnia z wartości różnicy we wzorze lub nieco większe.
Liczbę rozdzielam na iloczyn dwu liczb złozonych A*B. Sprawdzam reszty z dzielenia każdej przez nowy dzielnik, który chcę wprowadzić. Wtedy podmieniam ten czynnik nowo znalezioną liczbą złożoną, co wiąże się z przesunięciem do najbliższej liczby odpowiedniej gładkości, przy okazji wyznaczajac jej odległość od wspomnianej stałej wartości.
Np. utworzyłem sobie ciąg takich liczb gładkich:
(3*5*5*17)*(19*371), a ponieważ 19*371 = 7049 = 7061-12, oraz 7061 = 23*307, odległa o 12*(3*5*5*17) = 12*1275,
(3*5*5*17)*(23*307), teraz chcę mieć dzielnik 31 zamiast 23, dodaję 10*1275 = 12750 otrzymując
(3*5*5*17)*(31*227), dla dzielnika 37 od tego odejmę 30*1275 = 38250 i mam
(3*5*5*17)*(37*191),
na razie reszty przeliczam dla drugiego z czynników (19*371), widać, że schodzą coraz blizej pełnego kwadratu:
(3*5*5*17)*(73*97),
(3*5*5*17)*(79*89),
(3*5*5*17)*(5*17*83),
(3*5*5*17)*(79*89),
Od tego momentu trzymając się tego czynnika następuje powtarzanie się wartości, bo wykres funkcji f(x,y) xy=const jako hiperbola jest symetryczny względem prostej y=x.
Nie jestem ograniczony do drugiego czynnika, oto kolejne liczby gładkie, które wyznaczałem przesuwając o parzystą wartość - chciałem mieć nieparzyste liczby p-gładkie:
(13*101)*(3*23*103)
(13*101)*(67*107)
(13*101)*(3*3*7*113)
(11*127)*(3*3*7*113)
Odległości między tak wyznaczanymi liczbami gładkimi są ogromne, sięgają milionów przy wartości rzędu 10 milionów, gdyż liczby p-gładkie nie są zbyt częste. Jednak zdumiewa mnie łatwość, z jaką licząc tyko resztę z dzielenia przez fragment liczby znajduję dystans do najbliższej wielokrotnosci kolejnej chcianej przeze mnie wartości.
Mogę też pokusić się o mocniejsze wygładzanie.
Liczby gładkie służą do wyznaczania wzorców dla rozkładu sitem kwadratowym. Im więcej znanych liczb gładkich, tym więcej związków między nimi, i łatwiej znależć takie same reszty modulo N, co prowadzi do wykrycia dzielnika liczby N. Jednak wg mnie liczby p-gładkie z większym p są bardziej interesujace.
Jeśli chcieć rozkładu, gdy w uzyskanej różnicy odległość od wartości jest wielokrotnością jakiegoś dzielnika liczby gładkiej, to jest to zarazem dzielnik stałej wartości:
N = ABq - rq = (AB-r)q.
