Symbole Newtona ułożone w trójkącie Pascala uzyskuje się wstawiając 1 na skrajne pozycje, zaś pozostałe są sumą dwu poziom wcześniej. Ta sama formuła niejawnie występuje przy rozpisywaniu liczby w systemie Fibonacciego.
Klasycznie wybieramy jakąś maksymalnie dużą liczbę Fibonacciego i odejmujemy zamieniając 0 na 1 na pozycji tej liczby. Kiedyś tutaj opisałem przekształcenia, które 'płaszczą' liczbę wciśniętą na pozycję cyfry systemu Fibonacciego. Przypomnę te przekształcenia dla fragmentów [] zapisów systemu Fibonacciego:
[0 0 3 0 0] na [1 0 0 0 1]
[0 0 4 0 0] na [1 0 1 0 1]
Kiedy zamiast wartości 3 lub 4 wciskamy potęgi tychże, możemy zastosować 'spłaszczanie' iteracyjnie, uzyskując w kolejnych krokach współczynniki symboli Newtona, np dla 3^2:
[0 0 0 0 3^2 0 0 0 0] =
[0 0 3 0 0 0 3 0 0] =
[1 0 0 0 2 0 0 0 1] druga potęga, rozdzielane współczynniki (1+1)^2
Zachowanie potęg 4 tak nie chce, ale i tak dla 4^2 mozemy wymusić wystąpienie współczynników Newtona (1+1)^3:
[0 0 0 0 4^2 0 0 0 0] =
[0 0 4 0 4 0 4 0 0] =
[1 0 2 0 3 0 2 0 1] =
[1 0 3 0 0 0 3 0 1] i co, nie da się?
Nie jest to jedyny związek. Niedawno odkryłem kolejny.
Jeśli w kolejne 'cyfry' systemu Fibonacciego wciskamy kolejne wartości współczynników Nertona binom(n, k) dla kolejnych k od 0 do n, do uzyskanego wielomianu dopuścimy przeniesienia 'naprawiające', gdyż w klasycznym systemie Fibonacciego cyfry mają tylko dwie wartości: 0 oraz 1. W wyniku uzyskamy -- wartość Fibonacciego! Np. dla binom(4, k) mamy:
[0 0 0 0 1 4 6 4 1] =
[1 0 0 0 0 0 0 0 0]
Wśród zabaw z liczbami pamiętam o następującej cesze podzielności:
liczba jest podzielna przez k, gdy każda z wartości na pozycji cyfr jest całkowitą wielokrotnością k.
Okazuje się, że skoro sąsiednie wartosci F[m]=p, F[m+1]=q w systemie Fibonacciego są względnie pierwsze, zaś liczbę N można przedstawić (na wiele sposobów) jako kombinację liniową tych dwu wartości N = xp+yq, to spoglądając na wspomnianą cechę dla wielu (zwłaszcza odpowiednio małych) teoretycznie istnieją takie a, b całkowite, że dzielnik d|N spełnia własność,
N = adp + bdq = (ap+bq)*d
niezależnie od wyboru p, q. Przedstawienie nie jest jednoznaczne, bo każdy z dzielników ma wiele możliwości doboru a oraz b na przedstawienie siebie.
Czasem własność ta przechodzi i na inne pary p, q, które niekoniecznie sąsiadują, ale lepiej, by były względnie pierwsze, aby mogły zaprezentować wartość dzielnika.
