Skonstruujmy funkcję K(n,p) nad liczbami naturalnymi n in N, która dla kolejnych liczb przyjmuje następujące wartości zależne od parametru p będącego listą liczb pierwszych, domyślnie wszystkich nie większych od danej:
K(n,p[]) = 1, gdy n jest pierwsza lub dzielniki n nie należą do listy liczb pierwszych p.
K(n,p[]) = \prod k, k pierwsze, k należy do listy p[]
Innymi słowy, z rozkładu kanonicznego liczby n wybieramy iloczyn po jednym z czynników listy p. Funkcja ta ma pewną własność:
- jest okresowa o okresie będącym jej maksimum równym \prod k, k pierwsze, k<=p, np. dla p=3 okres jest równy 2*3, a kolejne wartości odpowiadają ciągowi (1, 2, 3, 2, 1, 6). Można porównać z danymi podanymi na stronie kodu liczb pierwszych
liczby-pierwsze.pl
oraz z budową liczb pierwszych zwanych 'prinomial tprimes', czyli iloczynami kolejnych liczb pierwszych + 1. Andrzej Nowicki w "Podróżach po Imperium Liczb" tom 4.5.4 poświęcony liczbom pierwszym
- zmiana parametru wywołuje zmianę funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy p jest kolejną liczbą pierwszą nie uwzględnioną w produkcie (iloczynie).
A wtedy wykonujemy następujacy proces: rozszerzamy o kolejną wartość pierwszą q. Tablicę wartości odkładamy q razy, oraz co q-tą wartość mnożymy przez q. Jest to proces liniowy w obrębie tablicy, nowy okres to iloczyn starej długości razy q.
Do pewnych celów pozwolę sobie później na dodatkową własność - nie wszystkie kolejne liczby pierwsze mogą być użyte... Ale na razie użyjemy wszystkich nie większych niż parametr, pisząc K(n,p).
Liczba pierwsza czworacza to czwórka (m-4, m-2, m+2, m+4), w której wszystkie wartości są pierwsze. Liczba pierwsza bliźniacza to para (m-1, m+1), w której obie wartosci są pierwsze.
Najmniejszy czworaczek jest dla m=9: (5, 7, 11, 13), potrzebuje 9 sąsiednich wartości. Funkcja K(n,5) generuje miejsca na kolejnego czworaczka, oraz sposób lokalizowania kolejnych, jak zamierzam nieco nizej przybliżyć.
Przeprowadźmy proces przedłużenia K(n,3) na K(n,5). Kopie tablicy
1, 2, 3, 2, 1, 6; 1, 2, 3, 2, 1, 6; 1, 2, 3, 2, 1, 6; 1, 2, 3, 2, 1, 6; 1, 2, 3, 2, 1, 6;
modyfikacja co 5-tej wartości:
1, 2, 3, 2, 5, 6, 1, 2, 3, 10, 1, 6, 1, 2, 15, 2, 1, 6, 1, 10, 3, 2, 1, 6, 5, 2, 3, 2, 1, 30;
Zmiany występują raz w każdej z części z wyjatkiem ostatniej, w której zmiana występuje dwukrotnie, w tym na pozycji z maksimum. Dodatkowo w w każdym początkowym okresie modyfikowana wartość jest na innej pozycji okresu. Dotyczy to także zwiększania przez inne liczby pierwsze mniejsze niż długość okresu, z małego twierdzenia Fermata.
Czy jest miejsce na czworaczka? Jest, w okolicy 15, i to jest kolejny czworaczek m=15: (11, 13, 17, 19). Nie ma miejsca na inne, oraz większość wartości 1 nie uległa modyfikacji! Zachowanie jedynek funkcji wskazuje, że to są miejsca na potencjalne występowanie liczb pierwszych, bliźniaczych, czworaczych.
Pytanie, czy mamy wystarczajaco dużo liczb pierwszych, by nimi obsłużyć, czy też czworaczki będą likwidowane?
Z szacowania liczności liczb pierwszych n/lgn dla okresu N oraz jego podwojenia 2N wynika, że
2N/lg (2N) - N/lg N = (2N lg N - N(lg 2 + lg N)) / ((lg 2 + lg N)*lg N)
Przyjmując lg jako logarytm binarny (lg 2 = 1), dostajemy
(2N lg N - N - N lg N) / ((1+ lg N)lg N) = N / lg N (lg N - 1) /( lg N + 1) < N/ lg N -1
czyli przechodząc z N do nieskończonosci, mamy wystarczająco dużo liczb pierwszych, by obsadzić nimi jedynki...
Zatem w kopiach okresu dla kolejnych wartości parametru p czworaczki mają szansę przeżyć, o ile nie zostaną znokautowane parametrem. Dla kolejnej liczby pierwszej 7 z teorii wystąpią miejsca na 6-1 = 5 nowych czworaczków (nie liczymy znanego), ale 7 niszczy cztery z nich. Każdy kolejny parametr niszczy jakieś 4 sztuki, może też wystąpić potęga.
Sprawdzamy wystąpienie czworaczków: m=15 + 2*3*5*i, czyli
45 (41, 43, 47, 49) padł, bo 49=7*7,
75 (71, 73, 77, 79) padł, bo 77=7*11,
105 (101, 103, 107, 109) przeżył!
135 (131, 133, 137, 139) padł, bo 133=7*19
165 (161, 163, 167, 169) padł, bo 161=7*23 oraz potęga 169=13*13
Ostał się jeden z czworaczków, który dla kolejnego parametru 11 ma szansę się nawet 'rozmnożyć'... To są już wartości z odległościami 2*3*5*7 = 210.
Przejście graniczne z parametrem p dążącym do nieskończoności: czworaczki przeżywają, mimo, że są rzadkie, liczb pierwszych jest wystarczająco dużo na obsadzenie miejsc, zatem jest ich nieskończenie wiele, z jednego można wskazać, gdzie mogą występować następne.
Wniosek: liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele, bo oprócz miejsca dla czworaczków, są dodatkowo obsługiwane na jedynkach przy krawędziach okresów.
Teraz hipoteza, którą spotkałem u Sierpińskiego w teorii liczb oraz na
liczbypierwsze.com/pl
Czy istnieje liczba pierwsza między n*n oraz (n+1)*(n+1)?
Funkcja F(n,[3,5]) po usunięciu 2, zliczamy, ile jest możliwych jedynek dla aktualnego okresu 3*5 = 15:
1, 1, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 1, 3, 1, 1, 15
Jest 8 jedynek oraz 7 wartości większych. Rozszerzając o kolejną liczbę pierwszą nieparzystą q, zagłada jedynek będzie dla połowy (q-1)/2, gdyż ostatnia zmiana nie niszczy maksimum. Pojawi się 8q jedynek oraz 7q innych wartości, oraz dołączając 2, statystycznie niszona będzie połowa zachowywanych jedynek modyfikowanych przez q, czyli 8q-(q-1)/2 do 7q+(q-1)/2. Różnica między tymi wartościami to q-2(q-1)/2 = 1, ocalała jedynka sugeruje istnienie liczby pierwszej.
Odległość (n+1)*(n+1)-n*n = 2n+1. Funkcję F(n,[3,5,Q]), gdzie Q oznacza liczby pierwsze przedziału [3,q] liczymy w zakresie (q, 2q) \subset [n,2n+1), co zawiera się w odległościach między sąsiednimi kwadratami n dla różnych q. Im mniejsze n, tym mniejsze q. Ze wzrostem n powoli zwiększa się też q. I warunki początkowe: 1<3<4, 2<3,5,7,<9.
Traktuję hipotezę jako prawdziwą.
Pozostaje tylko skonsultować rozumowanie z matematykami, czy to już byłby kompletny dowód.
