Cyfrą systemu pozycyjnego nazywamy nieujemną liczbę całkowitą ograniczoną z góry przez podstawę systemu.
Przy tej definicji można dodawać i odejmować cyfry jako liczby. Pozwalam też sobie przenieść terminy 'cyfra setek', 'cyfra dziesiątek', 'cyfra najmniej znacząca' tzn. 'cyfra jedności' zachowując ich znaczenie z systemu dziesiątkowego.
Pod koniec ostatniego posta z końca kwietnia wspomniałem, że
wystarczy zakręcić się wokół podstawy będącą potęgą 2. Od niej albo
ciągle zwiększać, albo zmniejszać podstawę p korzystając z jednego skoku
(podwajanie systemu przy zmniejszaniu podstaw; połowienie systemu przy
zmniejszaniu) wracamy do potęgi początkowej 2 z drugiej strony.
Wizualizacją wspomnianego sposobu jest chodzenie po spirali utworzonej z podstawy stożka, a w jednym miejscu przeskok na sąsiedni zwój spirali. Tym miejscem są specjalne postacie [4, 0, ?]_p albo [0, ?, ?]_p, gdzie w miejsce pytajników lądują cyfry liczby zapisane przy podstawie p (dla purystów, trzeba położyć obok [4, 0, ?]_p także [4, 1, ?]_p albo dopuścić podstawę ułamkową - gdzie 2p jest liczbą naturalną).
Z reguł połowienia podstawy systemów: cyfra najmniej znacząca przy połowieniu podstawy może się zmniejszyć na skutek przeniesień. Zatem ciąg cyfr jedności liczby przy ciągu połowionych podstaw p = [2^k *b, ..., 4b, 2b, b] tworzy funkcję słabo monotoniczną. Podzielność występuje wtedy, gdy cyfra jedności jest dzielnikiem podstawy.
I tu nie doceniałem różnicy naprzemiennej A = a-b+c-d+... , będącej cechą podzielności przez (p+1). Różnica ta łatwo potrafi być ujemna. Ale jeśli bierze się ją modulo podstawę systemu p, to pojawia się prosta zależność
A = q<0 => A = (p+1)-q (modulo p).
Więcej, pojawia się możliwość oszacowania reszty bardziej oddalonej niż dla sąsiedniej podstawy systemu. Dla kolejnych podstaw druga różnica skończona A (odpowiednik różniczki dwukrotnej) jest przedziałami stała, co jest mocniejsze niż monotoniczność cyfr. Przy czym długość przedziałów jest zależna od cyfr setek oraz dziesiątek, wartość przyrostów (pierwsza różnica skończona) zależy tylko od cyfry setek.
Pozwala to szacować wielkość A kilka podstaw dalej - zaś A=0 (modulo p) oznacza podzielność liczby przez (p-1). Nie zawsze to działa, szwankuje gdy następuje przeniesienie z cyfry dziesiątek lub setek, lecz takie zdarzenia przy dużych podstawach są stosunkowo rzadkie.
Wreszcie jeszcze jedno kryterium przeglądu zupełnego: liczbę N można zapisać jako sumę wielokrotności kwadratu i liczby złożonej, która ma dzielnik nie mniejszy niż przesunięcie wewnątrz kwadratu:
N = a(p+k)^2 + (p+k)*b ,
co wynika z postaci przy podstawie dzielnika N = [a, b, 0]_p. Wartość k staje się dystansem od dzielnika. Narzucając ograniczenia na parametry zmniejszamy krotność przypadków podczas przeglądu zupełnego.
