Połączenie kilku pomysłów: sposób przedstawiania liczb za pomocą systemu Fibonacciego, liczba złożona n=d*m zawierająca tylko cyfry 0 oraz m wartości d pozwoliły na opracowanie sposobu faktoryzacji, który w pętli głównej zawiera trzy proste modyfikacje. Najbardziej kosztowne jest liczenie wartości iloczynu
k*F[2m]+r modulo p,
w którym k jest licznikiem stale dążącym do zera, r jest resztą stale rosnącą o stałą, zaś F[2m] jest stałą liczbą Fibonacciego dla danych k oraz r.
Od czasu do czasu następuje ponowne przeliczenie k oraz r, korzystając z następujących własności. W tym miejscu k jest zerem lub jedynką. Z liczby postaci
d*(F[2m]+...+F[2]+F[0]) = d*(F[2m+1]-1)
zabieramy 'cyfrę najbardziej znaczącą F[2m], dodajemy doń aktualne k oraz r oraz dzielimy z resztą przez F[2m-1]. Część całkowita zwiększona o jeden to nowe k, zaś r jest największą ujemną wartością spełniajacą wyrażenie
d*(F[2m-2]-1) + k*F[2m-1] + r = n (1)
W tym wyrażeniu modyfikujemy tylko k oraz r. Jest to niezmiennik. Dla wygody przesuwamy też indeks m cyfry Fibonacciego.
Ta część powtarza się tylko tyle razy, ile z zapisie liczby n systemem Fibonacciego jest pozycji parzystych większych od większego z dzielników. Czyli na ogól mało, poniżej log n.
W głównej części są następujące działania:
d+=2;
k-=2;
r+=2;
oraz spradzenie, czy wyrażenie k*F[]+r dzieli d. W przypadku podzielności, mamy liczbę n rozbitą na dwa składniki, oba podzielne przed d.
Zapis Fibonacciego liczby n zawiera tylko cyfry na pozycjach parzystych, zatem przy inicjacji liczba może mieć jako cyfry jedynki, dwójki i zera. Pisząc co drugą pozycję mamy np.
8934053
= 101 010010 000100 101010 100100 010101 _Fib
= 0101 010001 020000 020101 010000 010101 // tylko pozycje parzyste
= 11 101 200 211 100 111 // zapis dla faktoryzacji
Ze względu na występującą dwójkę, lepiej jest uniknąć F[2m+1]-1 -r = n postaci
9227465-1 - 293411 = n
i pzejść od razu na postać z poprzedzającą liczbą Fibonacciego przy d=3
3*3524577 + 0*3524578-1639678 =
d*(F[2m+1]-1) + k*F[2m+1]+r
Czasem są same zera i jedynki, np dla 77, wtedy dzielnik można znależć ze wspólnego dzielnika n oraz (F[2m+1]-1).
Przerzucanie wartości odbywa się coraz rzadziej, dominujące stają się obliczenia
n = d*F[]-s = 9*514228 + (9*514229 - 322060), s=5 (mod 9)
n = 11*514228 + (7*514229 - 322058)
n = 13*514228 + (5*514229 - 322056)
n = 313*10945 + (504*10946 - 8516)
n = 315*10945 + (502*10946 - 8514)
I działania są na coraz mniejszych wartościach.
Myślę o trzymaniu wartości k, F[2m] oraz r w systemie o podstawie d zamiast zwykłego dzielenia modulo. W obu przypadkach asymptotyczna złożoność to O(N log^2 n), gdzie M to mniejsza z wartości n/2 (liczba pierwsza), dzielnik n.
Okazało się, że zastosowany chwyt na cyfrze Fibonacciego działa na dowolnych liczbach. Jedyny warunek to dM<n.
Można zatem zamiast F dobrać sobie M będącą iloczynem liczb nieco większych niż d, np. pierwszych. Jako konsekwencje można przejąć kontrolę nad szukaniem dzielników przedziałami. Chcemy zmniejszać r? Niezmiennik jest postaci d(M+1)+kM+r=n. Chcemy mieć iloczyny w zakresie do 50? M=(d+2)(d+100). Można też ograniczyć sobie przedział poszukiwań dobierając odpowiednio k, M ~ n/(d+k) .
31 sierpnia 2019
05 sierpnia 2019
Dzielenie równoczesne przez kilka liczb - pierwsze podejście
Jeśli program najpierw przekształca, potem liczy możliwe jest dzielenie przez kilka różnych liczb równocześnie. Związane są z tym pewne kłopoty.
Mianowicie bardzo trudno o odpowiedni zapis. Następnie niezmienniki. Obmyśliłem, żeby cechę charakterystyczną był fakt, że cyfry nie mniejsze niż dana były podzielne. Następnie delikatnie przesuwam dzielnik, jak przy standardowym dzieleniu pisemnym. Nie można tego zrobić bez wsparcia lub odstępu między kolejnymi dzielnikami.
Ale powstał prototyp. Przypomina zamek błyskawiczny, działający na cyfrach liczby. Cyfry liczby stanowią jedną listę, lista kolejnych dzielników drugi. Listy łączą się ze sobą na co drugiej pozycji cyfry.
Weźmy którąś cyfrę a[i], do której doczepiony jest dzielnik d[k]. Liczba utworzona z cyfr nie mniejszych niż a[i] ma być podzielna przez d[k]. Jeśli nie jest, korzystamy z przeniesień z/do cyfry a[i-1]. Niezbędny jest tu odstęp, bo wartość pozycji i-1 zmienia się. Jest to zarazem jedna z wewnętrzych operacji dzielenia. Wartość liczby cyfr nie mniejszych niż dana jest podzielna przez d[k], co się nie zmienia, kiedy przenoszę wartości pomiędzy cyframi.
Następnie przesuwamy listę dzielników o jedną pozycję. Teraz wartość cyfry a[i] może być modyfikowana resztą uzyskaną, kiedy cyfrę a[i+1] przekształcamy w podzielną przez d[k+1]. Kiedy już się ustabilizuje, możemy kontynuować.
Kolejne przesunięcie listy dzielników, oraz cyfra a[i] ma stać się podzielna przez d[k+1].
Preferowane obliczenia zwiększają cyfry a[i] kosztem wartości a[i-1], ale pozostawiają je nieujemnymi. Zmniejszanie zbyt szybko by wrzuciło gigantyczną wartość na pozycje mniej znaczące. I tak wartości na miejscach cyfr szybko rosną, mimo ograniczeń narzucanych przez d[k].
Dzielniki d[k] wędrują po liście od cyfr najbardziej znaczących do najmniej znaczących. Przekształcenia są lokalne, czyli mogą być wykonywane równolegle. Kiedy dzielnik d[k] dojdzie do cyfry najmniej znaczącej a[0], powinna być ona resztą z dzielenia przez d[k].
Tyle teoria. W praktyce człowiek ciągle popełnia błędy, gdyż mylą się pozycje z przypisanymi wędrującymi dzielnikami. To nie jest robota dla człowieka. Z kolei wątki ograniczone do danych cyfr traktowanych jako ulotne, powinny się sprawdzić. Na razie zaplątanie się jest mocne.
Przykład zachowania: podzielność przez [..., 7, 5, 3] liczby dziesiętnej o fragmencie [... 8 27 9 ...]
Rozpatrujemy a[i]=27, co jest podzielne przez 3.
Przesuwamy listę dzielników, sprawdzając podzielność: a[i+1]=8=10-2, a[i-1]=9=3*3. Przenosimy dwójkę uzyskując fragment [... 10 7 9 ...] o tej samej wartości, oraz spełnianych podzielnościach cyfr sąsiednich przez 5, 3 odpowiednio.
Kolejne przesunięcie dzielników, teraz a[i]=7 ma być podzielne przez 5. Zwiększenie do 10 spowoduje powstanie wartości ujemnej na pozycji a[i-1], zatem zmniejszamy do 5. Równocześnie modyfikowana jest pozycja a[i+1], by a[i+2] była podzielna przez 7. Uzyskujemy fragment [... 10x+10 5 29 ...]
I tak dalej.
Mianowicie bardzo trudno o odpowiedni zapis. Następnie niezmienniki. Obmyśliłem, żeby cechę charakterystyczną był fakt, że cyfry nie mniejsze niż dana były podzielne. Następnie delikatnie przesuwam dzielnik, jak przy standardowym dzieleniu pisemnym. Nie można tego zrobić bez wsparcia lub odstępu między kolejnymi dzielnikami.
Ale powstał prototyp. Przypomina zamek błyskawiczny, działający na cyfrach liczby. Cyfry liczby stanowią jedną listę, lista kolejnych dzielników drugi. Listy łączą się ze sobą na co drugiej pozycji cyfry.
Weźmy którąś cyfrę a[i], do której doczepiony jest dzielnik d[k]. Liczba utworzona z cyfr nie mniejszych niż a[i] ma być podzielna przez d[k]. Jeśli nie jest, korzystamy z przeniesień z/do cyfry a[i-1]. Niezbędny jest tu odstęp, bo wartość pozycji i-1 zmienia się. Jest to zarazem jedna z wewnętrzych operacji dzielenia. Wartość liczby cyfr nie mniejszych niż dana jest podzielna przez d[k], co się nie zmienia, kiedy przenoszę wartości pomiędzy cyframi.
Następnie przesuwamy listę dzielników o jedną pozycję. Teraz wartość cyfry a[i] może być modyfikowana resztą uzyskaną, kiedy cyfrę a[i+1] przekształcamy w podzielną przez d[k+1]. Kiedy już się ustabilizuje, możemy kontynuować.
Kolejne przesunięcie listy dzielników, oraz cyfra a[i] ma stać się podzielna przez d[k+1].
Preferowane obliczenia zwiększają cyfry a[i] kosztem wartości a[i-1], ale pozostawiają je nieujemnymi. Zmniejszanie zbyt szybko by wrzuciło gigantyczną wartość na pozycje mniej znaczące. I tak wartości na miejscach cyfr szybko rosną, mimo ograniczeń narzucanych przez d[k].
Dzielniki d[k] wędrują po liście od cyfr najbardziej znaczących do najmniej znaczących. Przekształcenia są lokalne, czyli mogą być wykonywane równolegle. Kiedy dzielnik d[k] dojdzie do cyfry najmniej znaczącej a[0], powinna być ona resztą z dzielenia przez d[k].
Tyle teoria. W praktyce człowiek ciągle popełnia błędy, gdyż mylą się pozycje z przypisanymi wędrującymi dzielnikami. To nie jest robota dla człowieka. Z kolei wątki ograniczone do danych cyfr traktowanych jako ulotne, powinny się sprawdzić. Na razie zaplątanie się jest mocne.
Przykład zachowania: podzielność przez [..., 7, 5, 3] liczby dziesiętnej o fragmencie [... 8 27 9 ...]
Rozpatrujemy a[i]=27, co jest podzielne przez 3.
Przesuwamy listę dzielników, sprawdzając podzielność: a[i+1]=8=10-2, a[i-1]=9=3*3. Przenosimy dwójkę uzyskując fragment [... 10 7 9 ...] o tej samej wartości, oraz spełnianych podzielnościach cyfr sąsiednich przez 5, 3 odpowiednio.
Kolejne przesunięcie dzielników, teraz a[i]=7 ma być podzielne przez 5. Zwiększenie do 10 spowoduje powstanie wartości ujemnej na pozycji a[i-1], zatem zmniejszamy do 5. Równocześnie modyfikowana jest pozycja a[i+1], by a[i+2] była podzielna przez 7. Uzyskujemy fragment [... 10x+10 5 29 ...]
I tak dalej.
07 lipca 2019
Parę dodatkowych faktów wynikających z konwersji
Nabieram wprawy w stosowaniu konwersji - ręcznie. A co jeśli ktoś zacznie obliczać je programowo?
Przecież najmniej znacząca cyfra w konwersji jest równoważna jednej z najbardziej podstawowych cech podzielności! Jako wielomian reszt modulo.
Albo logarytmy dyskretne, stosowane w stosowanym protokole kryptograficznym dla wygonerowania tajnego klucza dla szyfrowania symetrycznego. Liczba
b = q^a modulo p
jest równoważna konwersji liczby 10...0 z systemu o podstawie q do systemu o podstawie p. Jeśli cyfrą jedności będzie b, liczność użytych zer będzie wartością logarytmu dyskretnego a.Zaś twersja rekursywna konwersji nadaje sie do tego wprost idealnie.
Jak szybkie są takie obliczenia na współczesnych maszynach?
Przecież najmniej znacząca cyfra w konwersji jest równoważna jednej z najbardziej podstawowych cech podzielności! Jako wielomian reszt modulo.
Albo logarytmy dyskretne, stosowane w stosowanym protokole kryptograficznym dla wygonerowania tajnego klucza dla szyfrowania symetrycznego. Liczba
b = q^a modulo p
jest równoważna konwersji liczby 10...0 z systemu o podstawie q do systemu o podstawie p. Jeśli cyfrą jedności będzie b, liczność użytych zer będzie wartością logarytmu dyskretnego a.Zaś twersja rekursywna konwersji nadaje sie do tego wprost idealnie.
Jak szybkie są takie obliczenia na współczesnych maszynach?
10 czerwca 2019
Druga róznica przy konwersji na podstawy będące kolejnymi liczbami
Zastanawiało mnie, czy można wykorzystać fakt, że przy przechodzeniu na kolejne systemy, liczba złożona w pewnym momencie zmienia długości swoich dzielników, czyli krotność cyfr.
Na przykład, liczba w pewnym systemie liczenia jest trójcyfrowa. Czy jest ona iloczynem dwu liczb dwucyfrowych, jak np. 11*13 = 143. A może jest iloczynem liczby jednocyfrowej przez dwucyfrową, jak 61*7 = 427.
Punkt graniczny, liczba 10 z iloczynem a*10= [a,0]_p jest przypadkiem granicznym, przy okazji dzielnikiem.
Już widać na tych przykładach, że wielkość liczby złożonej nie jest wyróżnikiem.
Pomyślałem o niezmienniku - druga różnica cyfry jedności, oczywiście odpowiednio dostosowanej. Czyli dla podstaw rosnących p, p+1, p+2 cyfra jedności ma tworzyć ciąg lokalnie monotoniczny malejący, co uzyskamy przenosząc jedynkę z cyfry dziesiątek. Warto też zadbać o to, by cyfra setek a była taka sama.
Sprawdzam na przykładzie, i rzeczywiście, dla podstaw odpowiednio małych liczba będąca iloczynem dwu liczb 'dwucyfrowych' daje drugą róznicę minimalnie większą od 2a. Zaś dla podstaw na tyle dużych, by była iloczynem liczby jednocyfrowej, jest nieco mniejsza. Ale to przykład, należy zgeneralizować.
Z teorii, druga róznica przy tak dopasowanym ciągu jest zawsze równa podwójcej cyfrze setek 2a, z wyjatkiem skokowych zmian towarzyszących przenoszeniom z udziałem cyfry dziesiątki. Ale szczegółowy obraz pokazuje coś innego. Owszem, jest tendencja . do zmniejszania się przyrostu wraz ze wzrostem podstawy. Ale ten przyrost jest na tyle mały, że nie widzę możliwości zastosowania go praktycznie.
Dodatkowo, przy niektórych wartościach następuje 'rozchwianie' monotoniczności lokalnie generowanych ciągów. I to akurat także w pobliżu szukanej wartości.Może się opłacać tylko przy zgrubnym szukaniu dzielników: 'tam daleko wydaje się istnieć'.
Czy istnieje jakiś sposób oszacowania, kiedy liczba trójcyfrowa złożona jest iloczynem dwu liczb dwucyfrowych?
Wykluczamy znajomość dzielników i przegląd...
Na przykład, liczba w pewnym systemie liczenia jest trójcyfrowa. Czy jest ona iloczynem dwu liczb dwucyfrowych, jak np. 11*13 = 143. A może jest iloczynem liczby jednocyfrowej przez dwucyfrową, jak 61*7 = 427.
Punkt graniczny, liczba 10 z iloczynem a*10= [a,0]_p jest przypadkiem granicznym, przy okazji dzielnikiem.
Już widać na tych przykładach, że wielkość liczby złożonej nie jest wyróżnikiem.
Pomyślałem o niezmienniku - druga różnica cyfry jedności, oczywiście odpowiednio dostosowanej. Czyli dla podstaw rosnących p, p+1, p+2 cyfra jedności ma tworzyć ciąg lokalnie monotoniczny malejący, co uzyskamy przenosząc jedynkę z cyfry dziesiątek. Warto też zadbać o to, by cyfra setek a była taka sama.
Sprawdzam na przykładzie, i rzeczywiście, dla podstaw odpowiednio małych liczba będąca iloczynem dwu liczb 'dwucyfrowych' daje drugą róznicę minimalnie większą od 2a. Zaś dla podstaw na tyle dużych, by była iloczynem liczby jednocyfrowej, jest nieco mniejsza. Ale to przykład, należy zgeneralizować.
Z teorii, druga róznica przy tak dopasowanym ciągu jest zawsze równa podwójcej cyfrze setek 2a, z wyjatkiem skokowych zmian towarzyszących przenoszeniom z udziałem cyfry dziesiątki. Ale szczegółowy obraz pokazuje coś innego. Owszem, jest tendencja . do zmniejszania się przyrostu wraz ze wzrostem podstawy. Ale ten przyrost jest na tyle mały, że nie widzę możliwości zastosowania go praktycznie.
Dodatkowo, przy niektórych wartościach następuje 'rozchwianie' monotoniczności lokalnie generowanych ciągów. I to akurat także w pobliżu szukanej wartości.Może się opłacać tylko przy zgrubnym szukaniu dzielników: 'tam daleko wydaje się istnieć'.
Czy istnieje jakiś sposób oszacowania, kiedy liczba trójcyfrowa złożona jest iloczynem dwu liczb dwucyfrowych?
Wykluczamy znajomość dzielników i przegląd...
25 maja 2019
Konwersja dwuprzebiegowa
Opisałem pod koniec kwietnia konwersję dla większych przyrostów liczb w poście 'szczegolny przypadek konwersji'
Postanowiłem zastosować ten sposób do bardzo starej definicji, z którą zaczynałem zabawę z systemami niedziesiętkowymi.
Mianowicie p^n = \sum _{i=0} ^{n} \binom (n, i) (p-1)^i = ((p-1)+1)^n
Rozpisanie ze wzoru skróconego mnożenia jest automatyczną konwersją z systemu o podstawie p na system o podstawie p-1, ogólniej:
p^n = ((p-r)+r)^n
Związane są z tym potęgi przyrostu r oraz wzory na kombinacje. Kiedyś uważałem, że te duże wartości pojawiajace się we wzorze sprawią, że obliczanie będzie nieefektywne. I tak jest, dopóki znaleziona konwersja nie uwidoczniła mi, że te, skąd inąd potencjalnie ogromne wartości mogą się wzajemnie skracać. Wystarczy więcej przekształcać niż obliczać.
Każda cyfra przy konwersji wpływa na wszystkie cyfry mniej znaczące. Inaczej, każda cyfra zależy od pewnego wyrażenia od wszystkich cyfr bardziej znaczących.
Przekształcenie dla przyrostu r okazało się następujące dla cyfry i-tej:
a_i += 1/(p+r) (sum _{j>i} (-r)^{j-i} \binom (j, i) a_{j-1} )
dla cyfry na danej pozycji, reszta z dzielenia przechodzi bez żadnych modyfikacji do cyfry mniej znaczącej. Cyfra najmniej znacząca nie bierze udziału w przekształceniach, jest tylko modyfikowana resztą z pozycji dziesiątek.
W ten sposób bozbyliśmy się rekursji przy konwersji, pozostają dwa przebiegi. Główny liczony wielowątkowo oraz drobna korekta związana z naprawą cyfr.
Przykład: Mamy liczbę w 548321 w systemie dziewiątkowym. Należy podać tę liczbę w dziesiątkowym.
Nie będę pisał symboli Newtona \binom (n, i) = n! / (i! * (n-i)! ), od razu skrócone iloczyny - wartości trójkąta Pascala widać przy współczynnikach po przekątnych;
5 + (- 5*5)/10 = 5-2 = 3 reszta -5
4 + (-4* 4 + 5* 2*5)/10 = 4+3 = 7 reszta 4
8 + (-8* 3 + 4* 2*3 - 5* 2*5)/10 = 8-5 = 3 reszta 0
3 + (-3* 2 + 8* 3 - 4* 4 + 5* 5)/10 = 3+2 = 5 reszta 7
2 + (-2 +3 -8 +4 -5)/10 = 2+0 = 2 reszta -8 albo lepiej 1 reszta 2
1
Drugi przebieg, korygujemy resztami uzyskując wynik:
3 (-5+7) (3+4) (0+5) (7+1) (2+1) = 327583
Jest to prawidłowa wartość tej liczby w systemie dziesiętnym.
Postanowiłem zastosować ten sposób do bardzo starej definicji, z którą zaczynałem zabawę z systemami niedziesiętkowymi.
Mianowicie p^n = \sum _{i=0} ^{n} \binom (n, i) (p-1)^i = ((p-1)+1)^n
Rozpisanie ze wzoru skróconego mnożenia jest automatyczną konwersją z systemu o podstawie p na system o podstawie p-1, ogólniej:
p^n = ((p-r)+r)^n
Związane są z tym potęgi przyrostu r oraz wzory na kombinacje. Kiedyś uważałem, że te duże wartości pojawiajace się we wzorze sprawią, że obliczanie będzie nieefektywne. I tak jest, dopóki znaleziona konwersja nie uwidoczniła mi, że te, skąd inąd potencjalnie ogromne wartości mogą się wzajemnie skracać. Wystarczy więcej przekształcać niż obliczać.
Każda cyfra przy konwersji wpływa na wszystkie cyfry mniej znaczące. Inaczej, każda cyfra zależy od pewnego wyrażenia od wszystkich cyfr bardziej znaczących.
Przekształcenie dla przyrostu r okazało się następujące dla cyfry i-tej:
a_i += 1/(p+r) (sum _{j>i} (-r)^{j-i} \binom (j, i) a_{j-1} )
dla cyfry na danej pozycji, reszta z dzielenia przechodzi bez żadnych modyfikacji do cyfry mniej znaczącej. Cyfra najmniej znacząca nie bierze udziału w przekształceniach, jest tylko modyfikowana resztą z pozycji dziesiątek.
W ten sposób bozbyliśmy się rekursji przy konwersji, pozostają dwa przebiegi. Główny liczony wielowątkowo oraz drobna korekta związana z naprawą cyfr.
Przykład: Mamy liczbę w 548321 w systemie dziewiątkowym. Należy podać tę liczbę w dziesiątkowym.
Nie będę pisał symboli Newtona \binom (n, i) = n! / (i! * (n-i)! ), od razu skrócone iloczyny - wartości trójkąta Pascala widać przy współczynnikach po przekątnych;
5 + (- 5*5)/10 = 5-2 = 3 reszta -5
4 + (-4* 4 + 5* 2*5)/10 = 4+3 = 7 reszta 4
8 + (-8* 3 + 4* 2*3 - 5* 2*5)/10 = 8-5 = 3 reszta 0
3 + (-3* 2 + 8* 3 - 4* 4 + 5* 5)/10 = 3+2 = 5 reszta 7
2 + (-2 +3 -8 +4 -5)/10 = 2+0 = 2 reszta -8 albo lepiej 1 reszta 2
1
Drugi przebieg, korygujemy resztami uzyskując wynik:
3 (-5+7) (3+4) (0+5) (7+1) (2+1) = 327583
Jest to prawidłowa wartość tej liczby w systemie dziesiętnym.
05 maja 2019
kolejny sposób faktoryzacji z prostszym dzieleniem albo i bez
Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza wprost, wystarczy 7+4(n-sqrt n) operacji porównywania, dodawania lub odejmowania.
Inicjowanie: a=(n-1)/2, po czym b=a-1, a++, r=2. Łącznie 7 operacji (z przypisaniami włącznie).
Uzyskamy a=(n-1)/2+1; b=(n-1)/2-1; r=2, które jest specjalnym rozwiązaniem pewnej tożsamości, o niej dalej.
Teraz pętla, w której wykonujemy przekształcenia:
r-=a; a--;
albo
r+=b; b--;
oraz warunki wyjścia z pętli:
if( 0==r ) dla liczb złożonych
if( 0==b ) dla liczby n pierwszej
Pętla wykonuje się n-sqrt n razy, gdyż albo zwiększamy r, albo je zmniejszamy.
Dlaczego akurat tyle, i dlaczego to działa?
Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako różnicę sum
1+2+...+k = k(k+1)/2 = H(k),
chociażby w trywialny sposób H(n+1)-H(n). Ale są też inne możliwości, związane z dzielnikami.
Weżmy taką tożsamość dla podwojonej liczby n, by zlikwidować dzielenie we wzorach na H(k), jest to zarazem niezmiennik pętli równy r.
2n = H(a)-H(b) = a(a+1) - b(b+1) = (a-b)(a+b+1) .
Zauważmy, że ostatnie dwa czynniki różnią się parzystością. Podwojenie było niezbędne.
Niech n będzie parzyste, wtedy 2n = 1*(n+(n-1)+1). Wystarczy wziąć a=n, b=n-1.
Niech n będzie nieparzyste, wtedy 2n = 2*(((n-1)/2 +1)+ ((n-1)/2 - 1) + 1).
To są właśnie startowe wartości dla inicjacji.
Zmniejszamy długości H(k) zabierając ostatni składnik sumy, starając się trzymać blisko wartości n.
W sposobie faktoryzacji r jest różnicą między n oraz różnicą (H(a)-H(b)). Jeśli r będzie zerem, trafimy na tożsamość, z której dzielniki wyznaczymy jako nieparzyste trywialne dzielniki liczb (a-b) oraz (a-b+1).
Dla liczb pierwszych oraz b nieujemnych startujemy od najmniejszej takiej tożsamości. Zatem żadnej innej już nie znajdziemy. Dla liczb zlożonych występują mniejsze, po dwa dla iloczynu.
Działa ładnie, lecz wolno. Do tej pory jest to algorytm złożoności arytmetycznej liniowej O(n), złożoności stosowanej dla dużych liczb O(N log n).
Warto to usprawnić. Patrząc na przebieg, z początku co trochę dodajemy b, a zaraz odejmujemy a. Można połączyć tworząc nowe przekształcenie
a--; b--; r-=(a-b);
Różnica a-b jest stała! Pozwala to jeszcze bardziej uprościć, opuszczając r/(a-b) przekształceń. Tu wkracza dzielenie.
Już na samym początku widać, że po zwiększeniu r do około n/2, mamy trzecią część z n/2 do opuszczenia, czyli 2n/6 przypadków, by r znów sprowadzić w pobliże zera.
Później róznica wzrasta do 4, oraz po zwiększeniu r o b opuszczamy czwartą część pozostałych przypadków. To są ogromne liczby, dla których nie musimy nic robić.
Ciekawym , jak będzie działał program faktoryzujący tym sposobem.
Oto kilka przykładowych tożsamości stosowanych w sposobie faktoryzacji:
n=127: a=64, b=62, r=0, bo 64*65-62*63 = 2*127
n=51:
a=26, b=24, bo 26*27 - 24*25 = 2*51
a=18, b=15, bo 18*19 - 15*16 = 2*51, 18-15=3, 18+15+1=2*17
a=11, b=5, bo 11*12 - 5*6 = 2*51, 11-5=2*3, 11+5+1 = 17
Znając dzielniki, łatwo wyznaczymy te tożsamości.
A oto i kod w Pythonie (spr. online, tutorialspoints.com):
n = ...# nieparzysta dodatnia
a= 1+(n-1)/2
b= a-2
d=2
r=0
e=2
#print "wstepnie a=",a, " b=",b, " r=",r
while (1<e):
r+=b
d=d+1
k = r/d
r = r%d
a=a-k
b=b-k-1
if (0==r):
e=0
if (1>b):
e=1
#print "a=",a, " b=",b, " r=",r
if( 0==e ) :
print "Dzielniki",n,": "
if( 0==(a-b)%2 ) : print (a-b)/2, a+b+1
else : print a-b, (a+b+1)/2
else : print "Pierwsza"
Inicjowanie: a=(n-1)/2, po czym b=a-1, a++, r=2. Łącznie 7 operacji (z przypisaniami włącznie).
Uzyskamy a=(n-1)/2+1; b=(n-1)/2-1; r=2, które jest specjalnym rozwiązaniem pewnej tożsamości, o niej dalej.
Teraz pętla, w której wykonujemy przekształcenia:
r-=a; a--;
albo
r+=b; b--;
oraz warunki wyjścia z pętli:
if( 0==r ) dla liczb złożonych
if( 0==b ) dla liczby n pierwszej
Pętla wykonuje się n-sqrt n razy, gdyż albo zwiększamy r, albo je zmniejszamy.
Dlaczego akurat tyle, i dlaczego to działa?
Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako różnicę sum
1+2+...+k = k(k+1)/2 = H(k),
chociażby w trywialny sposób H(n+1)-H(n). Ale są też inne możliwości, związane z dzielnikami.
Weżmy taką tożsamość dla podwojonej liczby n, by zlikwidować dzielenie we wzorach na H(k), jest to zarazem niezmiennik pętli równy r.
2n = H(a)-H(b) = a(a+1) - b(b+1) = (a-b)(a+b+1) .
Zauważmy, że ostatnie dwa czynniki różnią się parzystością. Podwojenie było niezbędne.
Niech n będzie parzyste, wtedy 2n = 1*(n+(n-1)+1). Wystarczy wziąć a=n, b=n-1.
Niech n będzie nieparzyste, wtedy 2n = 2*(((n-1)/2 +1)+ ((n-1)/2 - 1) + 1).
To są właśnie startowe wartości dla inicjacji.
Zmniejszamy długości H(k) zabierając ostatni składnik sumy, starając się trzymać blisko wartości n.
W sposobie faktoryzacji r jest różnicą między n oraz różnicą (H(a)-H(b)). Jeśli r będzie zerem, trafimy na tożsamość, z której dzielniki wyznaczymy jako nieparzyste trywialne dzielniki liczb (a-b) oraz (a-b+1).
Dla liczb pierwszych oraz b nieujemnych startujemy od najmniejszej takiej tożsamości. Zatem żadnej innej już nie znajdziemy. Dla liczb zlożonych występują mniejsze, po dwa dla iloczynu.
Działa ładnie, lecz wolno. Do tej pory jest to algorytm złożoności arytmetycznej liniowej O(n), złożoności stosowanej dla dużych liczb O(N log n).
Warto to usprawnić. Patrząc na przebieg, z początku co trochę dodajemy b, a zaraz odejmujemy a. Można połączyć tworząc nowe przekształcenie
a--; b--; r-=(a-b);
Różnica a-b jest stała! Pozwala to jeszcze bardziej uprościć, opuszczając r/(a-b) przekształceń. Tu wkracza dzielenie.
Już na samym początku widać, że po zwiększeniu r do około n/2, mamy trzecią część z n/2 do opuszczenia, czyli 2n/6 przypadków, by r znów sprowadzić w pobliże zera.
Później róznica wzrasta do 4, oraz po zwiększeniu r o b opuszczamy czwartą część pozostałych przypadków. To są ogromne liczby, dla których nie musimy nic robić.
Ciekawym , jak będzie działał program faktoryzujący tym sposobem.
Oto kilka przykładowych tożsamości stosowanych w sposobie faktoryzacji:
n=127: a=64, b=62, r=0, bo 64*65-62*63 = 2*127
n=51:
a=26, b=24, bo 26*27 - 24*25 = 2*51
a=18, b=15, bo 18*19 - 15*16 = 2*51, 18-15=3, 18+15+1=2*17
a=11, b=5, bo 11*12 - 5*6 = 2*51, 11-5=2*3, 11+5+1 = 17
Znając dzielniki, łatwo wyznaczymy te tożsamości.
A oto i kod w Pythonie (spr. online, tutorialspoints.com):
n = ...# nieparzysta dodatnia
a= 1+(n-1)/2
b= a-2
d=2
r=0
e=2
#print "wstepnie a=",a, " b=",b, " r=",r
while (1<e):
r+=b
d=d+1
k = r/d
r = r%d
a=a-k
b=b-k-1
if (0==r):
e=0
if (1>b):
e=1
#print "a=",a, " b=",b, " r=",r
if( 0==e ) :
print "Dzielniki",n,": "
if( 0==(a-b)%2 ) : print (a-b)/2, a+b+1
else : print a-b, (a+b+1)/2
else : print "Pierwsza"
01 maja 2019
Mnożenie pisemne inaczej
Zastosowałem nowo znalezione przekształcenie konwersji do mnożenia.
Przypomnę sposób mnożenia a*b z użyciem konwersji. Konwertujemy oba czynniki do podstawy b. Wtedy b jest zapisane jako '10', zaś mnożenie sprowadza się do
a' * 10 = a' 0
w systemie o podstawie b. Teraz następuje powrót na system dziesiątkowy, w którym konwersje parują użyte poprzednio do przekształcania. Pozostaje niesparowana tylko jedna. Ostatnia przy powrocie.
Dokładniej, niech k=a-b, finalnie każda cyfra a[i] liczby
a = a[n]...a[1] a[0]
na pozycji mniej znaczącej modyfikuje się:
a[i-1] = a[i-1]+k*a[i] .
Wymagane poprawki przez przenoszenie.
Dla rozważanego przekształcenia mamy zmianę na pozycji i-tej:
a[i] += a[i]*k/10
z resztą przechodzącą na pozycję a[i-1]. Praktycznie można przesunąć to wyrażenie o jedną pozycję, i kończyć na i=0.
Kiedy na przykładzie przyjrzałem się rezultatowi, okazało się to rownoważne mnożeniu pisemnego, w którym obliczanie następuje od drugiej strony. Zamiast mnożyć a*b[0], potem a*b[1] i tak wracając ku pozycjom bardziej znaczącym, tworzy mi się lista 'cyfr'
[a[n]*b, a[n-1]*b, ..., a[1]*b, a[0]*b ]
Standardowe mnożenie pisemne, w którym wymienione zostały czynniki, oraz początek jest od strony cyfr bardziej znaczących.
Dodatkowo dodanie / odjęcie 10 od przyrostu skutkuje odjęciem / dodaniem cyfry danej pozycji. Po przesunięciu jest to liczba dziesiątek.
Przykład: 82 * 37
uzyskanym mnożeniem pisemnym dostaję listę cyfr
82
*37
296 // 8*37
+ 74 // 2*37
3034
czyli
[8*37, 2*37] równe [296, 74] = [2, 9, 6+7, 4] = 3034
chociaż liczyłem, po uwzględnieniu przesunięcia konwersji (różnica 37-10 to 27) następująco:
[8*27/10+8, 2*27/10+2, 0] => [216+80, 54+20] = 3034
Najpierw wyrażenia z cyframi, potem nanoszone poprawki od cyfr oraz przeniesienia.
Oznacza to zmianę kierunku liczenia, co podobno jest wygodniejsze dla człowieka wg Mental Maths. Oraz mamy możliwość mnożenia przez wygodniejsze czynniki.
Matematycznie złożoność się nie zmienia. Jednak dla niektórych wartości liczymy szybciej niż dla innych.
Przypomnę sposób mnożenia a*b z użyciem konwersji. Konwertujemy oba czynniki do podstawy b. Wtedy b jest zapisane jako '10', zaś mnożenie sprowadza się do
a' * 10 = a' 0
w systemie o podstawie b. Teraz następuje powrót na system dziesiątkowy, w którym konwersje parują użyte poprzednio do przekształcania. Pozostaje niesparowana tylko jedna. Ostatnia przy powrocie.
Dokładniej, niech k=a-b, finalnie każda cyfra a[i] liczby
a = a[n]...a[1] a[0]
na pozycji mniej znaczącej modyfikuje się:
a[i-1] = a[i-1]+k*a[i] .
Wymagane poprawki przez przenoszenie.
Dla rozważanego przekształcenia mamy zmianę na pozycji i-tej:
a[i] += a[i]*k/10
z resztą przechodzącą na pozycję a[i-1]. Praktycznie można przesunąć to wyrażenie o jedną pozycję, i kończyć na i=0.
Kiedy na przykładzie przyjrzałem się rezultatowi, okazało się to rownoważne mnożeniu pisemnego, w którym obliczanie następuje od drugiej strony. Zamiast mnożyć a*b[0], potem a*b[1] i tak wracając ku pozycjom bardziej znaczącym, tworzy mi się lista 'cyfr'
[a[n]*b, a[n-1]*b, ..., a[1]*b, a[0]*b ]
Standardowe mnożenie pisemne, w którym wymienione zostały czynniki, oraz początek jest od strony cyfr bardziej znaczących.
Dodatkowo dodanie / odjęcie 10 od przyrostu skutkuje odjęciem / dodaniem cyfry danej pozycji. Po przesunięciu jest to liczba dziesiątek.
Przykład: 82 * 37
uzyskanym mnożeniem pisemnym dostaję listę cyfr
82
*37
296 // 8*37
+ 74 // 2*37
3034
czyli
[8*37, 2*37] równe [296, 74] = [2, 9, 6+7, 4] = 3034
chociaż liczyłem, po uwzględnieniu przesunięcia konwersji (różnica 37-10 to 27) następująco:
[8*27/10+8, 2*27/10+2, 0] => [216+80, 54+20] = 3034
Najpierw wyrażenia z cyframi, potem nanoszone poprawki od cyfr oraz przeniesienia.
Oznacza to zmianę kierunku liczenia, co podobno jest wygodniejsze dla człowieka wg Mental Maths. Oraz mamy możliwość mnożenia przez wygodniejsze czynniki.
Matematycznie złożoność się nie zmienia. Jednak dla niektórych wartości liczymy szybciej niż dla innych.
29 kwietnia 2019
Szczególny przypadek konwersji o większą wartość
Kiedy opisywałem faktoryzację korzystając z podstaw parzystych, wspomniałem o konwersji o większą wartość. Przykładowo przechodzenie na system o 8 więcej, o 16 więcej itp.
Kiedyś proponowałem coś takiego: mając liczbę [a, b] konwersja o 8 polega na przekształcceniu [a, b-8a], po czym naprawa powstałych cyfr za pomocą przeniesień.Wartości przechodzą na cyfrę mniej znaczącą, potem wracają na początkowe miejsce.
Okazuje się, że istnieje możliwość takiego przekształcenia, że do cyfry mniej znaczącej trafia tylko reszta. Nawet mocniej. Nie zawsze musimy mnożyć przez różnicę podstaw docelowej i początkowej.
Pokażę to na przykładzie konwersji z podstawy 20 na 28. Różnica podstaw 8. Ale największy wspólny dzielnik podstaw to 4. Możemy niejawnie 'przejść' na system 20/4 =5, przeliczyć nową wartość różnicy jak dla 8/4=2, oraz 'wrócić z powstałego' siódemkowego. Te przechodzenia zawierają przekształcenia przeciwne, czyli wzajemnie się niwelują. Pozostaje mnożenie przez 2 cyfry w dwudziestkowym, oraz reszta dla cyfry mniej znaczącej jest mnożona przez 4.
Więcej, możemy od razu oszacować wartość w nowym systemie, dobierając resztę tak, by nie mieć nadmiaru bądź niedomiaru w cyfrze.
Przykład: przeliczyć [17 14] _20 na system o podstawie 28
największy wspólny dzielnik systemów to 4, oraz 28/4=7. Jest to wielokrotność, która pozostaje przy cyfrze.
2*17/7 daje modyfikatory 4 i resztę 6, ale możemy być 'sprytniejsi' i weżmiemy 5 oraz resztę -1. Wtedy zamiast odejmować 6*4 od 14 dodamy doń 1*4.
Teraz odejmiemy znaleziony modyfikator od cyfry dziesiątek, resztę od cyfry jedności:
[17-5, 14-(-1)*4] = [12, 18] _ 28
Cyfry najmniej znaczącej nie przekształcamy. Otrzymujemy poprawną wartość cyfr w nowym systemie!
Modyfikatory odejmujemy dopiero po użyciu cyfr. Obliczenia są tak łatwe, że przy odrobinie wprawy wiemy kiedy brać nieco więcej, oraz rzadko kiedy potrzebne są dodatkowe przeniesienia między cyframi.
Przypominam, że konwersja polega na iteracyjnym dołączeniu cyfry od liczby, przekształceniu wszystkich cyfr uzyskanego podciągu.
Fragment takich obliczeń (dołączamy kolejną cyfrę 21):
z systemu 28 na system 36 (wspólny dzielnik 4), zmodyfikowana podstawa to 36/4=9
[4, 13, 11, 21] _28 podciąg cyfr podczas konwersji, ((4*36+13)*36+11)*28+21
[8, 26, 22, ] podwojone cyfry
[1*9-1, 3*9-1, 2*9+4, ] wyłuskanie modyfikatorów - wielokrotności 9 i reszt
[4-1, 13-3, 11-2, 21] uwzględnienie modyfikatorów
[4-1, 13-3+4, 11-2+4, 21-16] uwzględnienie poczwórnych reszt
[3, 14, 13, 5] _ 36 nowa wartość podciągu ((3*36+14)*36+13)*36+5
Jeśli największy wspólny dzielnik podstaw to 1, nie możemy skorzystać z tego sposobu.
Kiedyś proponowałem coś takiego: mając liczbę [a, b] konwersja o 8 polega na przekształcceniu [a, b-8a], po czym naprawa powstałych cyfr za pomocą przeniesień.Wartości przechodzą na cyfrę mniej znaczącą, potem wracają na początkowe miejsce.
Okazuje się, że istnieje możliwość takiego przekształcenia, że do cyfry mniej znaczącej trafia tylko reszta. Nawet mocniej. Nie zawsze musimy mnożyć przez różnicę podstaw docelowej i początkowej.
Pokażę to na przykładzie konwersji z podstawy 20 na 28. Różnica podstaw 8. Ale największy wspólny dzielnik podstaw to 4. Możemy niejawnie 'przejść' na system 20/4 =5, przeliczyć nową wartość różnicy jak dla 8/4=2, oraz 'wrócić z powstałego' siódemkowego. Te przechodzenia zawierają przekształcenia przeciwne, czyli wzajemnie się niwelują. Pozostaje mnożenie przez 2 cyfry w dwudziestkowym, oraz reszta dla cyfry mniej znaczącej jest mnożona przez 4.
Więcej, możemy od razu oszacować wartość w nowym systemie, dobierając resztę tak, by nie mieć nadmiaru bądź niedomiaru w cyfrze.
Przykład: przeliczyć [17 14] _20 na system o podstawie 28
największy wspólny dzielnik systemów to 4, oraz 28/4=7. Jest to wielokrotność, która pozostaje przy cyfrze.
2*17/7 daje modyfikatory 4 i resztę 6, ale możemy być 'sprytniejsi' i weżmiemy 5 oraz resztę -1. Wtedy zamiast odejmować 6*4 od 14 dodamy doń 1*4.
Teraz odejmiemy znaleziony modyfikator od cyfry dziesiątek, resztę od cyfry jedności:
[17-5, 14-(-1)*4] = [12, 18] _ 28
Cyfry najmniej znaczącej nie przekształcamy. Otrzymujemy poprawną wartość cyfr w nowym systemie!
Modyfikatory odejmujemy dopiero po użyciu cyfr. Obliczenia są tak łatwe, że przy odrobinie wprawy wiemy kiedy brać nieco więcej, oraz rzadko kiedy potrzebne są dodatkowe przeniesienia między cyframi.
Przypominam, że konwersja polega na iteracyjnym dołączeniu cyfry od liczby, przekształceniu wszystkich cyfr uzyskanego podciągu.
Fragment takich obliczeń (dołączamy kolejną cyfrę 21):
z systemu 28 na system 36 (wspólny dzielnik 4), zmodyfikowana podstawa to 36/4=9
[4, 13, 11, 21] _28 podciąg cyfr podczas konwersji, ((4*36+13)*36+11)*28+21
[8, 26, 22, ] podwojone cyfry
[1*9-1, 3*9-1, 2*9+4, ] wyłuskanie modyfikatorów - wielokrotności 9 i reszt
[4-1, 13-3, 11-2, 21] uwzględnienie modyfikatorów
[4-1, 13-3+4, 11-2+4, 21-16] uwzględnienie poczwórnych reszt
[3, 14, 13, 5] _ 36 nowa wartość podciągu ((3*36+14)*36+13)*36+5
Jeśli największy wspólny dzielnik podstaw to 1, nie możemy skorzystać z tego sposobu.
08 kwietnia 2019
Faktoryzacja liczbami parzystym, inna wersja trial division
Zastanawiałem się, czy opublikować pierwotną znalezioną wersję faktoryzacji liczbami parzystymi, kiedy naprowadziła już ona na heurystykę opisaną w poprzednim poście.Okazuje się, że ten przegląd zupełny ma nieco większą złożoność, i nie nadaje się do komputerów, tylko dla ludzi.
Ale niech tam. Przynajmniej pokażę, jak rozumowałem.
Przy faktoryzacji przebiegam jakieś 2^(lg n) reszt (trochę mniej - do pierwiastka) kwadratowego z n) dla kolejnych podstaw p. Klasycznie połowę, wystarczy brać p nieparzyste. I to jest standardowa metoda trial division, pozostaje kwestia czy stosowane jest dzielenie, czy konwersje o 2, ale to szczegół techniczny.
Przechodząc na podstawę parzystą, nie trafiam w dzielnik, ale tuż obok. Wtedy suma cyfr przystaje do zera modulo (p-1), albo naprzemienna suma (alternate sum) przystaje do zera modulo (p+1). Analogicznie jak cechy podzielności przez 9, 11 odpowiednio. Dla kolejnych wartości parzystych ta sama wartość np. 43 jest sprawdzana dwukrotnie, z obu stron 42 oraz 44. Mogę zatem zmniejszyć stałą M złożoności algorytmu trial division O(M log^2 n), biorąc co czwartą wartość i te cechy. Pokryją wartości nieparzyste oraz rozpatruję połowę M. Miłe.
Może jeszcze uda się zmniejszyć M? Przyjrzyjmy się wykładnikom przy potęgach liczby d dla kolejnych wielokrotności d w postaci kanonicznej (iloczyn kolejnych liczb pierwszych):
1 2 1 3 1 2 1 4 1 ...
Proszę porównać dla d=2 (kolejne liczby parzyste):
2 2^2 2*3 2^3 2*5 2^2*3 2*7 2^4 2*9 ...
Specyficzny ciąg. Jeśli zainicjować A=1, potem niech w A wartością maksymalną jest k, to tworzy się grzebień postaci
A (k+1) A
Ale są luki, jednak trzeba brać pod uwagę wszystkie wielokrotności 4.
Lecz możemy przeksztalcać liczbę nieco inaczej. Bardziej wielowątkowo.
Całka Riemanna pokrywa pole pod funkcją prostokątami pionowymi. Całka Lebesque'a 'prostokątami' poziomymi. W podobny sposób zmieniam kolejność obliczeń, przez co pojawią się wątki.
Pierwszy watek to podstawy będące wszystkimi nieparzystymi wielokrotnościami 4, drugi tworzą nieparzyste wielokrotności 8. Pokrywają przedział z lukami, kolejna luka zaczyna się od 2*8=16. Jest to kolejny wątek. I tak dalej.
Wątki inicjowane są kolejnymi potęgami 2: k= 4, 8, 16, 32,..., zaś w danym wątku kN liczone są postacie liczby n dla kolejnych podstaw 2pk. Postacie liczby, nie reszty z dzielenia.
Są to konwersje o podwojony najmniejszy wspólny dzielnik danego wątku.
Czyli podstawy przekształcanych systemów dla danej liczby tworzą ciągi:
4, 12, 20, 28, 36, 44, ...
8, 24, 40, ...
16, 48, ...
32, ...
...
Wygląd modyfikowanej liczby szybko się zmniejsza, obliczanie sum, naprzemiennych sum jest prosty, ale konwersje nie są już tak miłe. Pogarszają złożoność o kolejny log n.
Dla człowieka widać na pierwszy rzut oka na cyfry, czy warto liczyć sumy, dla komputera niezbyt bez dodatkowego kodu.
Ale przecież człowiek nie będzie rozkładać dużej liczby bez wsparcia komputera! Niech ten przebieg faktoryzacji pozostanie ciekawostką.
Ale niech tam. Przynajmniej pokażę, jak rozumowałem.
Przy faktoryzacji przebiegam jakieś 2^(lg n) reszt (trochę mniej - do pierwiastka) kwadratowego z n) dla kolejnych podstaw p. Klasycznie połowę, wystarczy brać p nieparzyste. I to jest standardowa metoda trial division, pozostaje kwestia czy stosowane jest dzielenie, czy konwersje o 2, ale to szczegół techniczny.
Przechodząc na podstawę parzystą, nie trafiam w dzielnik, ale tuż obok. Wtedy suma cyfr przystaje do zera modulo (p-1), albo naprzemienna suma (alternate sum) przystaje do zera modulo (p+1). Analogicznie jak cechy podzielności przez 9, 11 odpowiednio. Dla kolejnych wartości parzystych ta sama wartość np. 43 jest sprawdzana dwukrotnie, z obu stron 42 oraz 44. Mogę zatem zmniejszyć stałą M złożoności algorytmu trial division O(M log^2 n), biorąc co czwartą wartość i te cechy. Pokryją wartości nieparzyste oraz rozpatruję połowę M. Miłe.
Może jeszcze uda się zmniejszyć M? Przyjrzyjmy się wykładnikom przy potęgach liczby d dla kolejnych wielokrotności d w postaci kanonicznej (iloczyn kolejnych liczb pierwszych):
1 2 1 3 1 2 1 4 1 ...
Proszę porównać dla d=2 (kolejne liczby parzyste):
2 2^2 2*3 2^3 2*5 2^2*3 2*7 2^4 2*9 ...
Specyficzny ciąg. Jeśli zainicjować A=1, potem niech w A wartością maksymalną jest k, to tworzy się grzebień postaci
A (k+1) A
Ale są luki, jednak trzeba brać pod uwagę wszystkie wielokrotności 4.
Lecz możemy przeksztalcać liczbę nieco inaczej. Bardziej wielowątkowo.
Całka Riemanna pokrywa pole pod funkcją prostokątami pionowymi. Całka Lebesque'a 'prostokątami' poziomymi. W podobny sposób zmieniam kolejność obliczeń, przez co pojawią się wątki.
Pierwszy watek to podstawy będące wszystkimi nieparzystymi wielokrotnościami 4, drugi tworzą nieparzyste wielokrotności 8. Pokrywają przedział z lukami, kolejna luka zaczyna się od 2*8=16. Jest to kolejny wątek. I tak dalej.
Wątki inicjowane są kolejnymi potęgami 2: k= 4, 8, 16, 32,..., zaś w danym wątku kN liczone są postacie liczby n dla kolejnych podstaw 2pk. Postacie liczby, nie reszty z dzielenia.
Są to konwersje o podwojony najmniejszy wspólny dzielnik danego wątku.
Czyli podstawy przekształcanych systemów dla danej liczby tworzą ciągi:
4, 12, 20, 28, 36, 44, ...
8, 24, 40, ...
16, 48, ...
32, ...
...
Wygląd modyfikowanej liczby szybko się zmniejsza, obliczanie sum, naprzemiennych sum jest prosty, ale konwersje nie są już tak miłe. Pogarszają złożoność o kolejny log n.
Dla człowieka widać na pierwszy rzut oka na cyfry, czy warto liczyć sumy, dla komputera niezbyt bez dodatkowego kodu.
Ale przecież człowiek nie będzie rozkładać dużej liczby bez wsparcia komputera! Niech ten przebieg faktoryzacji pozostanie ciekawostką.
06 kwietnia 2019
Faktoryzacja liczbami parzystymi
Zapiszmy liczbę rozkładaną n jako
a*p+b = n
gdzie a jest bliskie b, zaś p jest parzyste. W przypadku a=b mamy rozkład:
n = a*p+a = a*(p+1)
Potraktuję to wyrażenie jako zapis w systemie o podstawie p, co pozwala używać konwersji i przeniesień. Wtedy heurystyka rozkładu sprowadza się do zastosowania następujących przekształceń:
n = a*2+b = a*2+(a+1)
gdy a jest nieparzyste, przenosimy jedynkę dodając p do b (np. (a-1)*p + (p+b)).
dalej rozważamy dwa wyrażenia:
[a',b',p'] = [a/2 , b, 2p]
oraz
[a/2, b-a, 2(p+1)]
Przenosimy wartości między pierwszą a drugą pozycją, by były jak najbliższe. Jest to związane z dzieleniem przez p+1, gdyż gdy a>b przenosimy k:
a-k = b+pk, stąd a-b=(1+p)k;
oraz przy a<b
a+k = b-pk, stąd a-b=-(1+p)k;
Jeśli różnica |a-b|<p-1, odcinamy ten ciąg przekształceń. Gdy a=b kończymy zwracając rozkład. Prodedura zawsze się zakończy, gdyż każdą liczbę n przedstawimy jako 1*(n-1)+1. Liczby pierwsze mają jedynie to przedstawienie. Nie można użyć |a-b|<p, co będzie pokazane w przykładzie dalej.
Uzyskamy w ten sposób kolejne wyrażenia, których wydaje się wykładnicza liczność. To się tylko wydaje. Na początku owszem, potem przycinianie bierze górę.
Przedstawić wszystkie możliwe przedstawienia dla rozkładu liczby 133.
p=2, a=44, b=45 (44*2+45 z dzielenia 133/3), czyli
[44, 45, 2]
kolejne trójki to:
[22, 45, 4] oraz [22, 45-44, 2(2+1)] = [22, 1, 6]
po poprzenoszeniu nadmiarów, by przybliżyć a do b mamy:
[26, 29, 4] oraz [19, 19, 6], które już wskazuje poszukiwane przedstawienie 19*(6+1). Cięcie.
Teraz z [26, 29, 4] uzyskujemy
[13, 29, 8] oraz [13, 3, 10]
Z tego drugiego przenosimy, np. do [12, 13, 10]. Kolejna iteracja da trójki [6, 13, 20] oraz [6, 1, 22]. W obu różnica |a-b| da 7, 5 odpowiednio, obie mniejsze niż p>19. Tniemy, choć z [6, 1, 22] mozemy uzyskać ostatnie przedstawienie [1, 1, 132] korzystając z konwersji na system o potrojonej podstawie.
Wracamy do [13, 29, 8], przenosimy jedynkę, tym razem zwiększając a - i tak zaraz dzielimy przez 2. Mamy [14, 21, 8].
Zauważmy, że różnica b-a=7 jest podzielna zarówno przez 7, jak i 14, i jest mniejsza niż p=8. Jest ochota na przycięcie, co zgubi kolejne przedstawienia.
Oto kolejne trójki: [7, 21, 16], oraz [7, 7, 18], z drugiej wynika kolejne przedstawienie 7*(18+1).
Pierwszą modyfikujemy do [8, 5, 16]. Co prawda teraz a>b, ale jest parzyste, zaraz się zmniejszy. Teraz podaję już tylko trójki nie spełniające warunku przycinania: [4, 5, 32], [2, 1, 66] i ostatecznie ucinane [1, 1, 132].
Znalezione trzy przedstawienia dla rozkładu 133 = 19*(6+1) = 7*(18+1) = 1*(132+1).
Teraz tylko zaimplementować...
a*p+b = n
gdzie a jest bliskie b, zaś p jest parzyste. W przypadku a=b mamy rozkład:
n = a*p+a = a*(p+1)
Potraktuję to wyrażenie jako zapis w systemie o podstawie p, co pozwala używać konwersji i przeniesień. Wtedy heurystyka rozkładu sprowadza się do zastosowania następujących przekształceń:
n = a*2+b = a*2+(a+1)
gdy a jest nieparzyste, przenosimy jedynkę dodając p do b (np. (a-1)*p + (p+b)).
dalej rozważamy dwa wyrażenia:
[a',b',p'] = [a/2 , b, 2p]
oraz
[a/2, b-a, 2(p+1)]
Przenosimy wartości między pierwszą a drugą pozycją, by były jak najbliższe. Jest to związane z dzieleniem przez p+1, gdyż gdy a>b przenosimy k:
a-k = b+pk, stąd a-b=(1+p)k;
oraz przy a<b
a+k = b-pk, stąd a-b=-(1+p)k;
Jeśli różnica |a-b|<p-1, odcinamy ten ciąg przekształceń. Gdy a=b kończymy zwracając rozkład. Prodedura zawsze się zakończy, gdyż każdą liczbę n przedstawimy jako 1*(n-1)+1. Liczby pierwsze mają jedynie to przedstawienie. Nie można użyć |a-b|<p, co będzie pokazane w przykładzie dalej.
Uzyskamy w ten sposób kolejne wyrażenia, których wydaje się wykładnicza liczność. To się tylko wydaje. Na początku owszem, potem przycinianie bierze górę.
Przedstawić wszystkie możliwe przedstawienia dla rozkładu liczby 133.
p=2, a=44, b=45 (44*2+45 z dzielenia 133/3), czyli
[44, 45, 2]
kolejne trójki to:
[22, 45, 4] oraz [22, 45-44, 2(2+1)] = [22, 1, 6]
po poprzenoszeniu nadmiarów, by przybliżyć a do b mamy:
[26, 29, 4] oraz [19, 19, 6], które już wskazuje poszukiwane przedstawienie 19*(6+1). Cięcie.
Teraz z [26, 29, 4] uzyskujemy
[13, 29, 8] oraz [13, 3, 10]
Z tego drugiego przenosimy, np. do [12, 13, 10]. Kolejna iteracja da trójki [6, 13, 20] oraz [6, 1, 22]. W obu różnica |a-b| da 7, 5 odpowiednio, obie mniejsze niż p>19. Tniemy, choć z [6, 1, 22] mozemy uzyskać ostatnie przedstawienie [1, 1, 132] korzystając z konwersji na system o potrojonej podstawie.
Wracamy do [13, 29, 8], przenosimy jedynkę, tym razem zwiększając a - i tak zaraz dzielimy przez 2. Mamy [14, 21, 8].
Zauważmy, że różnica b-a=7 jest podzielna zarówno przez 7, jak i 14, i jest mniejsza niż p=8. Jest ochota na przycięcie, co zgubi kolejne przedstawienia.
Oto kolejne trójki: [7, 21, 16], oraz [7, 7, 18], z drugiej wynika kolejne przedstawienie 7*(18+1).
Pierwszą modyfikujemy do [8, 5, 16]. Co prawda teraz a>b, ale jest parzyste, zaraz się zmniejszy. Teraz podaję już tylko trójki nie spełniające warunku przycinania: [4, 5, 32], [2, 1, 66] i ostatecznie ucinane [1, 1, 132].
Znalezione trzy przedstawienia dla rozkładu 133 = 19*(6+1) = 7*(18+1) = 1*(132+1).
Teraz tylko zaimplementować...
22 marca 2019
System bezdziesiątkowy
System bezdziesiątkowy to system, w którym nie ma dziesiątki. wszystkie liczby są cyframi. Jeden jest standardowy - cyfrę stanowi liczność kresek. pałeczek, czy jakichś innych jednostkowych elementów.
Drugie podejście to wymyślenie własnych graficznych elementów na każdą z cyfr. Jest ich nieskończenie wiele, dlatego konstrukcja ma być łatwo rozszerzalna.
Pierwsze takie podejście spróbowałem jeszcze w liceum. Uzyskałem kilkaset cyfr zbudowanych z komórek, w których pojawiały się kreski. Budowa takiej komórki jest następująca:
--------
| \ / |
| x |
|/ \ |
--------
Dwie linie pionowe, dwie poziome i dwie ukośne, łącznie 2^6 możliwości zapisu cyfry w komórce. Jeśli jesteśmy w stanie rozróżnić położenie w komórce, mamy 64 cyfr w jednej komórce. Jeśli chcemy je łatwo rozróżniać, jest ich mniej, np. mamy tylko 59+1 (pusta) rozróżnialnych, spójnych = połączonych w wierzchołkach mozliwości dla jednej komórki.
Wypełnianie krawędziami komórki jest uporządkowane następującym cyklem: najpierw krawędzie pionowe, potem pionowe, potem kombinacje dwu krawędzi zachowując porządek ich ułożenia. Po wyczerpaniu przeypadków, wstawiamy trzy takie krawędzie, wreszcie wszystkie nie ukośne (wygląda jak kwadrat). Następna cyfra to krawędź ukośna /, którą otwieramy kolejny cykl. Dokładając do niej krawędzie pionowe mamy rozróżnialne aż trzy cyfry: |/, /| oraz |/|, podobnie z krawędziami poziomymi. Teraz mamy widocznych wszystkie 16 możliwości cyklu. Wreszcie wstawiamy drugą krawędź ukośną, stosując ten sam porządek. Ostatni cykl zawiera obie krawędzie ukośne.
Teraz położenie k komórek względem siebie. Wyróżniamy jedną skrajną komórkę jako główną. Nie ma żadnych komórek dokładnie nad nią, ani po jednej jej stronie. Pozostałe komórki zaczepiamy wierzchołkiem lub krawędzią od dołu. Początkowo jest to pionowa kolumna komórek. Ostatnie są doczepione krawędzią lub wierzchołkiem do swojej poprzedniczki, ale przy większej liczności komórek doczepiamy do komórek poprzedzających. Efekt występuje już dla trzech komórek, podany nizej.
Cyfry powstają przez wypełnianie krawędziami kolejnych komórek począwszy od ostatniej. Ignorujemy te położenia, w których nie możemy na pierwszy rzut oka rozróżnić rozmieszczenia krawędzi w komórkach.
Po wstawieniu wszystkich możliwych krawędzi do każdej z komórek, ostatnie komórki zaczynają wędrówkę wokół swej poprzedniczki, łącząc się z nią krawędzią lub wierzchołkiem. Wspólna krawędź jest liczona tylko względem komórek poprzedzających.
Wyjątkowa jest sytuacja, kiedy komórka jest doczepiona do wcześniejszej niż poprzedniczka. Wtedy może przeskoczyć, doczepiając się do kolejnej komórki, bliższej swej poprzedniczki.
Jeśli kolejne przesunięcie jest zablokowane brakiem miejsca, przemieszcza się wcześniejsza komórka, zaś jej następczynie tworzą pionową kolumnę pod nią. Finalnie komórki utworzą strukturę podobną do obróconego L, gdzie w podstawie jest komórka główna, a pozostałe tworzą graficznie pionową kolumnę przesuniętą o długość krawędzi.
Przykładowo, dla trzech komórek występuje układ przypominający semafor |' skrajna komórka z dołu powinna być doczepiona do swej poprzedniczki skrajnej z góry, ale jest doczepiona do komórki głównej. Jeszcze jedno przemieszczenie przesuwa ją względem komórki głównej, zachowując połączenie wierzchołkiem, podobnie jak <. Dopiero następne przemieszczenie doczepia do komórki poprzedzającej, też wierzchołkiem. Układ komórek przypomina wtedy /\. Jesscze są trzy możliwości przeniesienia ostatniej z komórek.
W ten sposób wyczerpane zostają wszystkie wzajemne położenia komórek. Kiedy kolumna pionowa przemieści się z dołu do góry, zwiększa się o jeden krotność komórek.
Dla spójności ignorowane są przypadki, kiedy krawędzie są rozłączne lub nie uwidaczniają krotności komórek. Także przypadek, kiedy krawędzie tworzą swoje bezpośrednie przedłużenia w sąsiednich komórkach bez informacji o końcu komórki jakąś inną krawędzią.
Już dla dwu komórek liczność cyfr sięga setek, a nawet tysięcy.
Porównywanie jest proste, wystarczy zlokalizować najprostszy układ komórek zawierajacy krawędzie, i porównać liczność i porządek krawędzi. Podobnie zwiększanie i zmiejszanie cyfr o jedność.
Jednak tłumaczenie cyfr tego systemu na dziesiątkowy jest nieopłacalne - sprowadza się do przechodzenia po kolejnych cyfrach. Podobnie inne operacje arytmetyczne.
Kiedy zrezygnujemy z łączności i rozróżnialności uwidaczniając komórki, możemy łatwiej oszacowywać dziesiętną wartość. Jeśli dodatkowo będziemy podwajać wspólne krawędzie, cyfry będą wyrażane jako wielomiany potęg 64. Dla dwu komórek mamy wtedy 4*64^2 możliwe cyfry, dla 3 już 20*64^3, dla czterech aż 105*64^4.
Jako ciekawostka, symbole - oraz + są w tym systemie cyframi! Pierwszy w podejściu klasycznym to dwa, w niespójnym (kiedy widać komórki) cztery (albo pięć w zależności od wysokości położenia krawędzi, wtedy także = jest cyfrą sześć). Drugi z symboli stanowią dwie komórki po skosie złączone wierzchołkiem, o wartości przekraczającej 1745.
Drugie podejście to wymyślenie własnych graficznych elementów na każdą z cyfr. Jest ich nieskończenie wiele, dlatego konstrukcja ma być łatwo rozszerzalna.
Pierwsze takie podejście spróbowałem jeszcze w liceum. Uzyskałem kilkaset cyfr zbudowanych z komórek, w których pojawiały się kreski. Budowa takiej komórki jest następująca:
--------
| \ / |
| x |
|/ \ |
--------
Dwie linie pionowe, dwie poziome i dwie ukośne, łącznie 2^6 możliwości zapisu cyfry w komórce. Jeśli jesteśmy w stanie rozróżnić położenie w komórce, mamy 64 cyfr w jednej komórce. Jeśli chcemy je łatwo rozróżniać, jest ich mniej, np. mamy tylko 59+1 (pusta) rozróżnialnych, spójnych = połączonych w wierzchołkach mozliwości dla jednej komórki.
Wypełnianie krawędziami komórki jest uporządkowane następującym cyklem: najpierw krawędzie pionowe, potem pionowe, potem kombinacje dwu krawędzi zachowując porządek ich ułożenia. Po wyczerpaniu przeypadków, wstawiamy trzy takie krawędzie, wreszcie wszystkie nie ukośne (wygląda jak kwadrat). Następna cyfra to krawędź ukośna /, którą otwieramy kolejny cykl. Dokładając do niej krawędzie pionowe mamy rozróżnialne aż trzy cyfry: |/, /| oraz |/|, podobnie z krawędziami poziomymi. Teraz mamy widocznych wszystkie 16 możliwości cyklu. Wreszcie wstawiamy drugą krawędź ukośną, stosując ten sam porządek. Ostatni cykl zawiera obie krawędzie ukośne.
Teraz położenie k komórek względem siebie. Wyróżniamy jedną skrajną komórkę jako główną. Nie ma żadnych komórek dokładnie nad nią, ani po jednej jej stronie. Pozostałe komórki zaczepiamy wierzchołkiem lub krawędzią od dołu. Początkowo jest to pionowa kolumna komórek. Ostatnie są doczepione krawędzią lub wierzchołkiem do swojej poprzedniczki, ale przy większej liczności komórek doczepiamy do komórek poprzedzających. Efekt występuje już dla trzech komórek, podany nizej.
Cyfry powstają przez wypełnianie krawędziami kolejnych komórek począwszy od ostatniej. Ignorujemy te położenia, w których nie możemy na pierwszy rzut oka rozróżnić rozmieszczenia krawędzi w komórkach.
Po wstawieniu wszystkich możliwych krawędzi do każdej z komórek, ostatnie komórki zaczynają wędrówkę wokół swej poprzedniczki, łącząc się z nią krawędzią lub wierzchołkiem. Wspólna krawędź jest liczona tylko względem komórek poprzedzających.
Wyjątkowa jest sytuacja, kiedy komórka jest doczepiona do wcześniejszej niż poprzedniczka. Wtedy może przeskoczyć, doczepiając się do kolejnej komórki, bliższej swej poprzedniczki.
Jeśli kolejne przesunięcie jest zablokowane brakiem miejsca, przemieszcza się wcześniejsza komórka, zaś jej następczynie tworzą pionową kolumnę pod nią. Finalnie komórki utworzą strukturę podobną do obróconego L, gdzie w podstawie jest komórka główna, a pozostałe tworzą graficznie pionową kolumnę przesuniętą o długość krawędzi.
Przykładowo, dla trzech komórek występuje układ przypominający semafor |' skrajna komórka z dołu powinna być doczepiona do swej poprzedniczki skrajnej z góry, ale jest doczepiona do komórki głównej. Jeszcze jedno przemieszczenie przesuwa ją względem komórki głównej, zachowując połączenie wierzchołkiem, podobnie jak <. Dopiero następne przemieszczenie doczepia do komórki poprzedzającej, też wierzchołkiem. Układ komórek przypomina wtedy /\. Jesscze są trzy możliwości przeniesienia ostatniej z komórek.
W ten sposób wyczerpane zostają wszystkie wzajemne położenia komórek. Kiedy kolumna pionowa przemieści się z dołu do góry, zwiększa się o jeden krotność komórek.
Dla spójności ignorowane są przypadki, kiedy krawędzie są rozłączne lub nie uwidaczniają krotności komórek. Także przypadek, kiedy krawędzie tworzą swoje bezpośrednie przedłużenia w sąsiednich komórkach bez informacji o końcu komórki jakąś inną krawędzią.
Już dla dwu komórek liczność cyfr sięga setek, a nawet tysięcy.
Porównywanie jest proste, wystarczy zlokalizować najprostszy układ komórek zawierajacy krawędzie, i porównać liczność i porządek krawędzi. Podobnie zwiększanie i zmiejszanie cyfr o jedność.
Jednak tłumaczenie cyfr tego systemu na dziesiątkowy jest nieopłacalne - sprowadza się do przechodzenia po kolejnych cyfrach. Podobnie inne operacje arytmetyczne.
Kiedy zrezygnujemy z łączności i rozróżnialności uwidaczniając komórki, możemy łatwiej oszacowywać dziesiętną wartość. Jeśli dodatkowo będziemy podwajać wspólne krawędzie, cyfry będą wyrażane jako wielomiany potęg 64. Dla dwu komórek mamy wtedy 4*64^2 możliwe cyfry, dla 3 już 20*64^3, dla czterech aż 105*64^4.
Jako ciekawostka, symbole - oraz + są w tym systemie cyframi! Pierwszy w podejściu klasycznym to dwa, w niespójnym (kiedy widać komórki) cztery (albo pięć w zależności od wysokości położenia krawędzi, wtedy także = jest cyfrą sześć). Drugi z symboli stanowią dwie komórki po skosie złączone wierzchołkiem, o wartości przekraczającej 1745.
19 lutego 2019
nowe odkrycie możliwości faktoryzacji w nieoczekiwanym obszarze
Faktoryzacja liczb nieparzystych wymaga kandydatów nieparzystych. Wydaje się, że poszukiwanie dzielników dla podstaw systemów niedziesiątkowych będących liczbami parzystymi jest głupotą. A jednak!
Konwersje przy podstawach parzystych mogą aproksymować iloraz q/d gdzie q*d jest dużą liczbą na tyle skutecznie, że liczbość operacji spada do logarytmu z liczby.
Sam proces ma trzy fazy:
- oszacowanie długości dzielników
(p-x)(p+y) przechodzi w (p+x)(p+y) po konwersji, gdzie p jest potęgą 2, zaś x i y nieujemnymi odległościami dzielników od podstawy systemu
- znalezienie części całkowitej q/d, gdzie q*d = N są dzielnikami liczby rozkładanej N; płynnie przechodzi w następną fazę:
- dopasowanie reszty z dzielenia, w którym usiłuję zapisać dzielnik q>d w systemie o podstawie d. Docelowo mam uzyskać postać liczby trójcyfrowej
a b b-a _ p
lub
a b a+b _ p
Teraz wystarcza cecha podzielności i mam dzielnik np. p+1 oraz a(p+1)+b.
Działa dla dowolnego z dzielników, i zawsze znajdzie co najmniej jeden: n*1.
Ta ostatnia część jest bardzo szybka, wartości a i b mają skłonności do rozjeżdżania się, lecz potrafią się znowu zbiec. Stosuję konwersje p=p +- 2^k przy malejącym k, co aproksymuje dzielnik.
Nie wiem jeszcze dokładnie, jakie formuły zadać algorytmowi. Patrząc na oko, najpierw odległość liczby trójcyfrowej
a b c _p
c-b powinna być jak najmniejsza, a potem starać sie utrzymywać c bliskie b stosując konwersje o malejące potęgi 2. Ale nie na siłę, raczej widełkami ograniczającymi zakresy badanych wartości.W ostateczności, jest to przebieg wykładniczy względem log n, czyli liniowy.
Stosując te konwersje, znajduję dzielniki liczby 2^(101)-1, i to w około 51 krokach, jak sprawdziłem. Choć przyznaję, długość dzielników oraz niektóre bity skrajne znam z innych badanych algorytmów - służyły mi za punkt odniesienia.
Jeśli nie trafi się w odpowiedni przedział, wartości sugerowane przez heurystykę zawierają długi ciąg zer lub jedynek.
Podejście, w ktorym usiłuję uzyskać na pozycji jedności narastające potęgi 2 nie działa w ogólności. Dla ustawionych bitów dzielnika wydaje się działać, zera psują. Zatem przegląd zupełny, wykładniczy.
Istnieje jednak możliwość przycięcia tego rozrostu, co jest opisane w innym poście Faktoryzacja liczbami parzystymi z 6 kwietnia 2019 roku
Konwersje przy podstawach parzystych mogą aproksymować iloraz q/d gdzie q*d jest dużą liczbą na tyle skutecznie, że liczbość operacji spada do logarytmu z liczby.
Sam proces ma trzy fazy:
- oszacowanie długości dzielników
(p-x)(p+y) przechodzi w (p+x)(p+y) po konwersji, gdzie p jest potęgą 2, zaś x i y nieujemnymi odległościami dzielników od podstawy systemu
- znalezienie części całkowitej q/d, gdzie q*d = N są dzielnikami liczby rozkładanej N; płynnie przechodzi w następną fazę:
- dopasowanie reszty z dzielenia, w którym usiłuję zapisać dzielnik q>d w systemie o podstawie d. Docelowo mam uzyskać postać liczby trójcyfrowej
a b b-a _ p
lub
a b a+b _ p
Teraz wystarcza cecha podzielności i mam dzielnik np. p+1 oraz a(p+1)+b.
Działa dla dowolnego z dzielników, i zawsze znajdzie co najmniej jeden: n*1.
Ta ostatnia część jest bardzo szybka, wartości a i b mają skłonności do rozjeżdżania się, lecz potrafią się znowu zbiec. Stosuję konwersje p=p +- 2^k przy malejącym k, co aproksymuje dzielnik.
Nie wiem jeszcze dokładnie, jakie formuły zadać algorytmowi. Patrząc na oko, najpierw odległość liczby trójcyfrowej
a b c _p
c-b powinna być jak najmniejsza, a potem starać sie utrzymywać c bliskie b stosując konwersje o malejące potęgi 2. Ale nie na siłę, raczej widełkami ograniczającymi zakresy badanych wartości.W ostateczności, jest to przebieg wykładniczy względem log n, czyli liniowy.
Stosując te konwersje, znajduję dzielniki liczby 2^(101)-1, i to w około 51 krokach, jak sprawdziłem. Choć przyznaję, długość dzielników oraz niektóre bity skrajne znam z innych badanych algorytmów - służyły mi za punkt odniesienia.
Jeśli nie trafi się w odpowiedni przedział, wartości sugerowane przez heurystykę zawierają długi ciąg zer lub jedynek.
Podejście, w ktorym usiłuję uzyskać na pozycji jedności narastające potęgi 2 nie działa w ogólności. Dla ustawionych bitów dzielnika wydaje się działać, zera psują. Zatem przegląd zupełny, wykładniczy.
Istnieje jednak możliwość przycięcia tego rozrostu, co jest opisane w innym poście Faktoryzacja liczbami parzystymi z 6 kwietnia 2019 roku
14 stycznia 2019
Mnożenie większych liczb, alternatywne sposoby
Nie odkrywam tu nowych rzeczy, lecz podaję proste zastosowanie niektórych przekształceń stosowanych w innych przypadkach.
Równoczesne mnożenie kilku liczb.
Najlepiej, gdy mamy k czynników równej długości. Nie za dużo, ze względu na powstajace sumy, których liczność jest dana symbolem Newtona.
W ostateczności czynniki można uzupełniać zerami.
Zamieniamy iloczyny czynników na sumy iloczynów k cyfr. W pierwszym przybliżeniu są to wartości, które należy ostatecznie przenosić między pozycjami dziesiętnymi.
Jeśli mamy znaleźć wartość na pozycji i-tej, bierzemy iloczyn cyfry na pozycji i-tej dowolnego czynnika oraz cyfry jedności pozostałych. Podobnie robimy dla każdego czynnika i sumujemy. Następnie bierzemy cyfrę z pozycji (i-1) dowolnego czynnika oraz cyfrę dziesiątek dowolnego innego czynnika, Mnożymy przez siebie obie wraz z cyframi jedności pozostałych czynników. Sumujemy traktowane w ten sposób wszystkie permutacje czynników. Kontynuujemy szukanie permutacji, dopóki nie uzyskamy sum iloczynów najmniejszych możliwych czynników dla tej pozycji.
Przypomina to nieco czynności znane z Chińskiego Twierdzenia o resztach lub interpolacji wielomianami Lagrange'a. Można posłużyć się wzorem skróconego mnożenia (tu: szczególny przypadek luczb dwucyfrowych z cyfrą jedności 1):
(10a+1)(10b+1)(10c+1)(10d+1) =
10000abcd + 1000(abc+abd+acd+bcd)+100(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
10(a+b+c+d) + 1
Przykład: 64*27*21 = (6*2*2)*1000 + (6*2*1+6*2*7+2*2*4)*100 +(6*7*1+2*4*1+2*4*7)*10 + 4*7*1
Grupa przy 100 to suma cyfr z dwu dziesiątek, jednej jedności; przy 10 to suma iloczynów cyfr z dziesiątki i dwu jedności.
Sposób nadaje się, gdy jest kilka czynników równej długości. Później permutacje cyfr komplikują i spowalniają obliczenia.
Przerzucanie 11
Jest to metoda mnożenia egipskiego, chłopów rosyjskich zastosowana do 11 zamiast do 2.
Jeśli 11 dzieli b, to
a*b = (11a) * (11/b)
w przeciwnym przypadku wyłączamy resztę z dzielenia b przez 11.
Metoda jest posta, gdyż dzielenie liczby przez 11 sprowadza się do wypisywania cyfr uzyskanych przez różnicę cyfry z wcześniejszą.
Sposób pierwszy, wymaga poprawek: cyfry ilorazu to uzyskiwane cyfry na bieżącej pozycji:
np. 845130 / 11 =
8
4-8=-4
5-(-4)=9
1-9=-8
3-(-8)=11 = 0 ( mod 11) dodamy jedynkę na pozycji bardziej znaczącej
0-0 = 0
Na pozycjach cyfr mamy [8, -4, 9. -8, 11, 0] czyli liczbę 76830.
Sposób drugi, gdy cyfra mniej znacząca jest mniejsza od bieżącej, przenosimy jedynkę i wypisujemy cyfrę, zaś mniej znaczącą zastępujemy różnicą z otrzymaną:
845130
8>4, 7; 75130
7>5, 6; 9130
9>1, 8; 330
3=3, 3; 00
0=0, 0
Iloraz 845130 / 11 = 76830.
Mnożenie przez 11 to suma dwu kolejnych cyfr na odpowiednich pozycjach:
7683*11 = [7, 7+6, 6+8, 8+3, 3], czyli 84513.
Sposób powoli zwiększa jedną liczbę kosztem zmniejszania drugiej.
Mnożenie dopełnieniami.
Mnożąc liczby a*b, szukamy najbliższej potęgi 10 lub polowy takiej potęgi przybliżajacej b, niech to będzie b=c*10^j+d
Wtedy
a*b = ac*10^j + a*d
Kontynuujemy rekursją dla a*d.
Przypominam, że w systemie dziesiętnym mnożenie przez 5 sprowadza się do dzielenia przez 2.
a*498 = a*(500-8) = (a/2)*1000 - 2a
a*507 = a*(5*101+2) = (100a+a)*10/2 + 2a
sposób znany i stosowany, choć nie wiem, jak często implementowany. Sprowadza wszystkie występujęce iloczyny do mnozenia lub dzielenia przez 2.
Równoczesne mnożenie kilku liczb.
Najlepiej, gdy mamy k czynników równej długości. Nie za dużo, ze względu na powstajace sumy, których liczność jest dana symbolem Newtona.
W ostateczności czynniki można uzupełniać zerami.
Zamieniamy iloczyny czynników na sumy iloczynów k cyfr. W pierwszym przybliżeniu są to wartości, które należy ostatecznie przenosić między pozycjami dziesiętnymi.
Jeśli mamy znaleźć wartość na pozycji i-tej, bierzemy iloczyn cyfry na pozycji i-tej dowolnego czynnika oraz cyfry jedności pozostałych. Podobnie robimy dla każdego czynnika i sumujemy. Następnie bierzemy cyfrę z pozycji (i-1) dowolnego czynnika oraz cyfrę dziesiątek dowolnego innego czynnika, Mnożymy przez siebie obie wraz z cyframi jedności pozostałych czynników. Sumujemy traktowane w ten sposób wszystkie permutacje czynników. Kontynuujemy szukanie permutacji, dopóki nie uzyskamy sum iloczynów najmniejszych możliwych czynników dla tej pozycji.
Przypomina to nieco czynności znane z Chińskiego Twierdzenia o resztach lub interpolacji wielomianami Lagrange'a. Można posłużyć się wzorem skróconego mnożenia (tu: szczególny przypadek luczb dwucyfrowych z cyfrą jedności 1):
(10a+1)(10b+1)(10c+1)(10d+1) =
10000abcd + 1000(abc+abd+acd+bcd)+100(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+
10(a+b+c+d) + 1
Przykład: 64*27*21 = (6*2*2)*1000 + (6*2*1+6*2*7+2*2*4)*100 +(6*7*1+2*4*1+2*4*7)*10 + 4*7*1
Grupa przy 100 to suma cyfr z dwu dziesiątek, jednej jedności; przy 10 to suma iloczynów cyfr z dziesiątki i dwu jedności.
Sposób nadaje się, gdy jest kilka czynników równej długości. Później permutacje cyfr komplikują i spowalniają obliczenia.
Przerzucanie 11
Jest to metoda mnożenia egipskiego, chłopów rosyjskich zastosowana do 11 zamiast do 2.
Jeśli 11 dzieli b, to
a*b = (11a) * (11/b)
w przeciwnym przypadku wyłączamy resztę z dzielenia b przez 11.
Metoda jest posta, gdyż dzielenie liczby przez 11 sprowadza się do wypisywania cyfr uzyskanych przez różnicę cyfry z wcześniejszą.
Sposób pierwszy, wymaga poprawek: cyfry ilorazu to uzyskiwane cyfry na bieżącej pozycji:
np. 845130 / 11 =
8
4-8=-4
5-(-4)=9
1-9=-8
3-(-8)=11 = 0 ( mod 11) dodamy jedynkę na pozycji bardziej znaczącej
0-0 = 0
Na pozycjach cyfr mamy [8, -4, 9. -8, 11, 0] czyli liczbę 76830.
Sposób drugi, gdy cyfra mniej znacząca jest mniejsza od bieżącej, przenosimy jedynkę i wypisujemy cyfrę, zaś mniej znaczącą zastępujemy różnicą z otrzymaną:
845130
8>4, 7; 75130
7>5, 6; 9130
9>1, 8; 330
3=3, 3; 00
0=0, 0
Iloraz 845130 / 11 = 76830.
Mnożenie przez 11 to suma dwu kolejnych cyfr na odpowiednich pozycjach:
7683*11 = [7, 7+6, 6+8, 8+3, 3], czyli 84513.
Sposób powoli zwiększa jedną liczbę kosztem zmniejszania drugiej.
Mnożenie dopełnieniami.
Mnożąc liczby a*b, szukamy najbliższej potęgi 10 lub polowy takiej potęgi przybliżajacej b, niech to będzie b=c*10^j+d
Wtedy
a*b = ac*10^j + a*d
Kontynuujemy rekursją dla a*d.
Przypominam, że w systemie dziesiętnym mnożenie przez 5 sprowadza się do dzielenia przez 2.
a*498 = a*(500-8) = (a/2)*1000 - 2a
a*507 = a*(5*101+2) = (100a+a)*10/2 + 2a
sposób znany i stosowany, choć nie wiem, jak często implementowany. Sprowadza wszystkie występujęce iloczyny do mnozenia lub dzielenia przez 2.
22 grudnia 2018
Mnożenie bez przeniesień, i własność wspólnego dzielnika
Mnożenie bez przeniesień jest specyficznym zapisem liczb, w którym na miejscu cyfr mamy liczby. Mnożenie tak wykonywane nie ma ostatniej czynności, w której sumuje się iloczyny cząstkowe, przenosząc nadmiary. Przypominam sposób mnożenia, np. 15*15:
[1 5] * [1 5] = [1 5+5 25] = [1 10 25]
Po wykonaniu przeniesień: 15*15= [1+1 0+2 5] = 225.
Niech s będzie podłogą z pierwiastka kwadratowego liczby N, oraz s nie dzieli N. Wtedy w systemie liczbowym o podstawie s liczba N ma postać:
[1 y r],
gdzie -1<y<2, 0<r<s.
Usuńmy przeniesienie cyfry setek uzyskując:
[1 y r] = [0 s+y r] .
Jest to równocześnie iloczyn [a b]*[0 d] = [ad bd].
Oznacza to, że dla liczby zlożonej N istnieje takie k, że największy wspólny dzielnik
gcd(s+y-k, r+sk) > 1
jest dodatni, a nawet bywa dzielnikiem.
Zmieniając k o pozycję, nasunęły mi się przedstawienia iloczynów ks jako cyfr jedności w systemie o podstawie (s-k).
I to rzeczywiście działa. Dla N=8934053 mamy postać [2989 2921], zaś szukając k rozwiazujemy kongruencje:
2921 + 2988k > 0 (mod 2989-k) .
Przyrost przy zmianie k o 1 ma drugą róznicę stałą, A do rozkładu interesuje nas tylko największy wspólny dzielnik reszty i podstawy systemu. Dla dużych wartości są one bliskie sobie.
Dodatkowo, k nie musi być dodatnie, może też być ujemne. W podanym przykładzie uzyskałem
k=-272 oraz gcd(2989+272, 2921-k*2988) \equiv gcd(3261, 1087) = 1087.
Ciąg reszt z r+ks (mod s-k): 67, 64, 59, 52, 43, 32, 19, 4, 2985, 2967, ...
Z drugiej strony
k=815 oraz gcd(2989-815, 2921+k*815) \equiv gcd(2174, 1087)=1087 . Ciąg reszt 2923, 2927, ...
[1 5] * [1 5] = [1 5+5 25] = [1 10 25]
Po wykonaniu przeniesień: 15*15= [1+1 0+2 5] = 225.
Niech s będzie podłogą z pierwiastka kwadratowego liczby N, oraz s nie dzieli N. Wtedy w systemie liczbowym o podstawie s liczba N ma postać:
[1 y r],
gdzie -1<y<2, 0<r<s.
Usuńmy przeniesienie cyfry setek uzyskując:
[1 y r] = [0 s+y r] .
Jest to równocześnie iloczyn [a b]*[0 d] = [ad bd].
Oznacza to, że dla liczby zlożonej N istnieje takie k, że największy wspólny dzielnik
gcd(s+y-k, r+sk) > 1
jest dodatni, a nawet bywa dzielnikiem.
Zmieniając k o pozycję, nasunęły mi się przedstawienia iloczynów ks jako cyfr jedności w systemie o podstawie (s-k).
I to rzeczywiście działa. Dla N=8934053 mamy postać [2989 2921], zaś szukając k rozwiazujemy kongruencje:
2921 + 2988k > 0 (mod 2989-k) .
Przyrost przy zmianie k o 1 ma drugą róznicę stałą, A do rozkładu interesuje nas tylko największy wspólny dzielnik reszty i podstawy systemu. Dla dużych wartości są one bliskie sobie.
Dodatkowo, k nie musi być dodatnie, może też być ujemne. W podanym przykładzie uzyskałem
k=-272 oraz gcd(2989+272, 2921-k*2988) \equiv gcd(3261, 1087) = 1087.
Ciąg reszt z r+ks (mod s-k): 67, 64, 59, 52, 43, 32, 19, 4, 2985, 2967, ...
Z drugiej strony
k=815 oraz gcd(2989-815, 2921+k*815) \equiv gcd(2174, 1087)=1087 . Ciąg reszt 2923, 2927, ...
Subskrybuj:
Posty (Atom)