Końcówka roku upłynęła na oglądaniu liczby złożonej przedstawianej w różnych systemach liczbowych, celem poszukiwania możliwości zmniejszenia krotności rozpatrywanych przypadków.
Kilka z algorytmów publikowanych na tym blogu korzysta z przedstawienia liczby w systemie o podstawach nieparzystych. Wtedy liczba złożona n=p*q w systemie o podstawie q ma cyfrę jedności równą 0.
Należy sprawdzać do połowy z pierwiastka kwadratowego z n przypadków.
Kiedy podstawy są parzyste, można oprócz konwersji na systemy p-2, p+2 łatwo przechodzić na systemy 2p, p/2. Miałem nadzieję, że manipulując tymi czteroma przekształceniami uda się dotrzeć do dzielników.
Przekształcenia działają, pojawiają się dodatkowe postacie błyskawicznie zwracające dzielnik, np:
n = a*(p-1)+a, tzn. naprzemienna suma cyfr dzieli p;
n = a*(p+1)+(p-a), tzn. suma cyfr dzieli p;
Wzory działają także dla liczb większych niż dwucyfrowe. Trudno je jednak znaleźć bez przeszukiwania.
Jeżeli mamy szczęście, to dodatkowo suma (naprzemienna) cyfr spełnia ten warunek także dla podstaw będących wielokrotnościami o potęgi całkowite z 2.
I na tym się kończy. Wiadomo jeszcze, że w pierwszej z tych postaci a jest nieparzyste (bo p-1 jest parzyste oraz wartość sumy ma być nieparzysta).
Myślałem, że dla kolejnych podstaw (p-1)*2^k wystarczy brać najmniejsze z możliwych a (nieparzyste), ale przeskakiwana jest wtedy szukana postać.
Drugie przypuszczenie: sumy i sumy naprzemienne majace w dzielnikach określoną postać w sąsiedztwie będą zbiegać do właściwych. Lecz nie do końca. Pojawiają się inne małe wartości dla sum bliskich szukanych z daleka od dzielników. Także przy samych dzielnikach wartości nie są monotoniczne.
Liczność przypadków może być nieco mniejsza, ale i tak wymagane jest sprawdzanie wielu przypadków (podstawy parzyste). Czasem widać dzielnik po przeliczeniu zaledwie połowy potrzebnych przypadków.
Nasuwa mi się możliwość zastosowania w tym przypadku specyficznego dodawania + mającego wiele argumentów. Jeden z argumentów jest dany relacją jednoargumentową '< r()', która zachowuje sumę tak długo, dopóki jest mniejsza od r, jeśli jest większa, blokuje dodawanie zwracajac wartość pustą NIL. Np. +(1, 2, 3, 4, 5, <7) zwraca NIL, bo 1+2+3+4>7. Z kolei +(1,2,3, <16, 4, 5) = 1+2+3+4+5=15<16 zwraca 15.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz