Z odpowiednio dużych liczb można tworzyć palindromy nad systemami pozycyjnymi. Tych, które mają wszystkie współczynniki niezerowe, jest mało. Najwięcej jest takich palindromów nad systemem binarnym. Im większa podstawa, tym jest ich mniej, aż w końcu przestaje się je spotykać. Niemniej nadal mogą się pojawiać.
Jak wygląda palindrom długości trzy z dużej liczby N o największej możliwej podstawie i wszystkich wartościach nieujemnych? Okazuje się nim wartość
0 1 0 _ N,
bo to jest 1*N=N, a kolejny jest dla podstawy rzędu pierwiastka kwadratowego z N, bo wymagana nieujemność wyrazów skrajnych wymusza, by podstawa była mniejsza niż pierwiastek kwadratowy z N. Można sprawdzić tworząc palindrom z 37 nad postawą 6, to jest właśnie ten przypadek. Inazej wyraz środkowy staje się ujemny.
Zawsze?
Nie, tylko dla liczb pierwszych.
Liczby złożone utworzą dodatkowy palindrom o współczynnikach nieujemnych nad podstawą będącą dzielnikiem N większym niż pierwiastek kwadratowy z N. Wynika to z cechy podzielności, gdyż największy z palindromów tego dzielnika jest mnożony przez mniejszy z dzielników. Czyli dla N=p*q, p<q uzyskamy
0 p 0 _q,
oraz sqrt N < q < N.
Można potraktować jako (khm) test pierwszości:
Jeśli tworząc z liczby N palindromy długości 3, nie występuje palindrom o współczynnikach nieujemnych dla podstaw (sqrt N, N), liczba N jest pierwsza.
Przedział do sprawddzenia jest gigantyczny,,, Nawet gdy ktoś wykorzysta, że w tym przedziale reszty z dzielenia przez kolejne wartości tworzą wykres piłokształtny przedziałami monotoniczny. Występuje obszar, w którym długość ząbka jest mniejsza niż 1 -- odległość między śasiednimi liczbami naturalnymi.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz