Przemyślałem 4 sposoby dzielenia w wyrażeniach arytmetycznych: przed, 2 podczas oraz jedno po obliczeniu wyrażenia. Wszystkie jednak mają problemy.
Dzielenie po obliczeniu wyrażenia:
plusy: podejście najbardziej standardowe, można zastosować klasyczne algorytmy
minusy: duże wartości
Dzielenie w czasie, wymuszane:
polega na odejmowaniu w każdej iteracji dzielnika, oraz zapisaniu w dodatkowej binarnej wartości 1 na kolejnych pozycjach. Ten iloraz jest równy zmniejszonej o 1 potędze 2, zatem po zatrzymaniu wartością ujemną dla cyfr najbardziej znaczących, należy wystartować jeszcze raz
plusy: małe wartości
minusy: trzeba szacować wartość połowioną, by była cały czas dodatnia; algorytm trzeba ponawiać, iloraz jest sumą szeregu liczb binarnych postaci 2^k-1.
Dzielenie w czasie, zwykłe:
należy najpierw wyznaczyć cyfrę, jeśli jest nią 0, cyfra ilorazu jest 0, jeśli 1, cyfra ilorazu jest 1 oraz odejmujemy dzielnik od wyrażenia. Często zostaje jakaś duża liczba reszty, będąca wielokrotnością potęgi 2. Należy ją później podzielić przez dzielną w inny sposób - ten się zapętla.
plusy: małe wartości
minusy: zapętlanie, wymóg znalezienia cyfry ignorując dzielenie
Dzielenie przed:
Wyłączamy części zawierające dzielenie oraz te, w których wartości się skróciły na dwa klastry, obliczenia w klastrach przebiegają oddzielnie. Dzielenie traktowane jest jako operacja, którą należy ignorować, podobnie jak zmienną wielomianów.
plusy: mniejsze wartości
minusy: często wymagane ponowne wywołanie, gdy reszta przekroczy wartość dzielnika
Czyli żaden ze sposobów nie jest dobry. Najefektywniej jest przekształcać wyrażenie do systemu o podstawie dzielnika. Ale wtedy są kłopoty z wyznaczaniem reszt.
Ostatni sposób sugeruje działania analogiczne jak ułamki egipskie.
