Mam liczbę w systemie siódemkowym [2, 6, 3]_7. Domyślam, się, że jest złożona, pokażę kolejny sposób, który ewentualnie moze być użyty do rozkładu liczb. Jest to prototyp dla małej wartości podstawy p=7.
Jeśli mam iloczyn (ap+b)*(cp+d) o nieznanych a, b, c, d, to mogę przenieść w jednym z czynników 'dziesiątkę;, tu dokładniej siódemkę uzyskując zamiast cp+d = (c+1)p+(d-p) = (c+1)p - e. Co to powoduje w zapisie liczby
(ap+b)*(cp+d) = acp^2 + (bc+ad)p + bd ?
Wykorzystamy przeniesienie, które można zapisać xp = xd+xe, gdxie x jest dowolną wartością: a, b. Teraz
(ap+b)*((c+1)p-e) = a(c+1)p^2 + (bc+b-ae)p - be .
Różnice na pozycjach między tymi dwoma zapisami można podsumować +[a, b-ap, -pb]_p, kompletnie nie zależą one od c oraz d.
W przykładzie
[2+a, 6-7a+b, 3-7b]_7
zarazem 2>=ac, załóżmy a>=c, zatem a może być równe 1, 2, c równe 1, ewentualnie 0, gdyby się okazało, że podstawa p jest odpowiednio duża. Załóżmy, że a=1 oraz skorzystamy z jeszcze jednego przeniesienia by mieć pewność wartości ujemnej w cyfrze jednostek:
[3, -1+b-1, 3-7-7b] _7 = [3, -2+b, -4-7b]_7
Sugerowana jest wartość ujemna na cyfrze 'dziesiątek' -2+b, przeniesiemy z cyfry setek zmniejszając tu równocześnie ac=1:
[1, 5+b, -4-7b]_7 .
W postaciach ogólnych mieliśmy w cyfrze jedności bd, -be, istnieje wspólny dzielnik będący wielokrotnością b. Jakie wartości przyjmuje cyfra jedności dla kolejnych b, szukamy podzielnych przez 3: -4, -11, -18. Różnica 3-(-18) = 3*7, co sugeruje b=3. Wstawmy siłowo:
[1, 5+3, -4-7*3]_7
W tym zamieszamiu przeniesieniami tracimy wartość liczby rozkładanej. Przywracamy jej postać, już po uwzględnieniu wartości a i b na cyfrach innych niż jedności, przy okazji ustawiamy c=1:
[1, 8, 38]_7
Ponieważ cyfra jedności powinna być złożona, a kombinacja liniowa dzielników powinna dać cyfrę 'dziesiątek', kolejne przeniesienia korygują:
[1, 8, 38] _7 = [1, 9, 31]_7 = [1, 10, 24]_7
i rozpoznajemy: 24=4*6, 1*4+1*6=10 spełnia te warunki. Naszymi dzielnikami liczby początkowej są [1, 4]_7 = 11, [1, 6]_7 = 13, i można sprawdzić, że naszą początkową wartością jest [2, 6, 3]_7 = 11*13 = 143...
Z innych znalezionych ostatnio własności: sposób zmniejszania podstawy o 1 przez dodawania cyfry poprzedzajacej działa także dla systemu binarnego! W szczególności przy odpowiednim sumowaniu (jest symetryczne dla długości liczby, choć dopiero niedawno na to wpadłem) w cyfrze jedności odkłada się suma ustawionych bitów zapisu liczby binarnej.
Faktoryzację przeglądem zupełnym warto zaczynać nie od dzielników najmniejszych 2, 3, ... , ale od podstaw równych największym możliwym potęgom 2, a mniejsze dzielniki uzyskamy przez połowienie podstawy systemu - mniej obliczeń i znacznie mniejsza redundancja możliwych podstaw.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz