Przyglądajac się przekształcanej w różnych systemach pozycyjnych liczbie, zacząłem się zastanawiać, czy istnieje gotowy wzór, aby, mając postać liczby w jakimś systemie, dowiedzieć się, o ile należy dokonać konwersji, aby uzyskać dzielnik.
W teorii sprawa wydaje się prosta. Dla liczb co najmniej dwucyfrowych (czyli jednej z najczęściej spotykanych postaci) szukany wzór można podać jawnie (a0, a1 to 'cyfry' liczby w systemie o podstawie p):
przekształcić tak, aby cyfra najmniej znacząca a0 stała się zerem,
a0 - x * a1 = 0 (modulo p+x )
lub
a0 + x * a1 = 0 ( modulo p-x )
Równanie rekurencyjne liniowe, które za pomocą równania diofantycznego np.
x * a1 - py - xy = a0
w wielu przypadkach uda się rozwiązać mimo nieliniowości. Rozwiązanie zawsze istnieje. Istnieje dokładnie jedno dla liczb pierwszych.
Praktyka jest gorsza. Otóż wzór działa w bardzo wąskim zakresie, dopóki nie przeniesiemy nadmiaru lub pożyczki. Kiedy nastąpi takie zdarzenie, pojawia się modyfikacja.
Dla innego przypadku, takim niefortunnym zdarzeniem psujacym wynik jest brak przeniesienia nadmiaru lub pożyczki.
Zatem można go stosować w bardzo wąskich zakresach, nieekonomiczne.
Śledziłem zmiany cyfry najbardziej znaczącej a0 przy podstawach p dla liczb trójcyfrowych, kiedy zmniejszałem p o 2 sprawdzając nieparzystych kandydatów na dzielniki.
Okazało się, że szukany współczynnik x zachowuje się jak ciągła liczba rzeczywista, wzrastając od jakiejś wartości 2k do wartości 2k+2. Prawie płynnie. Wartość k zależała od cyfr bardziej znaczących, w szczególności cyfry setek.
Wartość cyfry najmniej znaczącej wzrastała w każdym kroku o 2k, 2k+2, itd.
Różnice między kolejnymi cyframi najmniej znaczącymi liczby postaci początkowej 1'0'2 przy malejącej podstawie były 1, 3, 5 itd.
Dlatego stosunkowo łatwo było wyznaczyć podstawę, w której następowało przeniesienie lub pożyczka, po czym, szczególnie przy większych k, należało modyfikować wzór.
Ślad cyfry najbardziej znaczącej brany modulo p ze zmniejszającym się bardzo dużym p przypomina ślad punktu na kole, które porusza się coraz szybciej. Najpierw widać przyrosty odległości, następnie ślad się rozmywa, później pojawiają się wolniej obracające się 'szprychy', zmienia się ich liczność. Przy dużych szybkościach zmienia się kierunek 'widocznego' obrotu i zdaje nam się, że koło się kręci 'do tyłu'. Tak jest między innymi, gdy cyfra dziesiątek będzie się zbliżała do podstawy p.
