Jeden z algorytmów mnożenia zastosowany w systemie binarnym wskazuje, że znajomość najmniej znaczących bitów dzielnika pozwala z odpowiedniego bitu iloczynu odczytać kolejny bit obu z dzielników. Są dwie możliwości, między innymi ze wględu na prawo przemienności.
Zatem podejście jest takie. Liczbę rozkładaną n zapisuję w postaci czwórki liczb (a, b, r, c), gdzie a oraz b są kandydatami na dzielniki, do których dołączam przewidywany najbardziej znaczący bit. Liczba r to rezerwa wskazująca, jak wartość jest jeszcze dostępna, gdy wykorzystam informacje o bieżących ustawieniach liczb a oraz b. Wartość c jest potęgą 2, wskazuje, który bit jest aktualnie dopasowywany.
Przebieg. Najpierw przekształcam wartości czwórki, następnie sprawdzam pary wartości oraz wywołuję rekursywnie obie możliwości.
Inicjacja czwórki jest następująca:
(a=1, b=1, r=n-1, c=1)
oraz oznacza, że n = r*c + a*b = (n-1)*1 + 1*1 = n-1 +1.
Teraz w zależności od najmniej znaczącego bitu r, mam dwie możliwości:
bit r&1 wyzerowany:
a'=a, b'=b, r'=r;
albo
a''=a+c, b''=b+c, r''=r-a-b-c;
bit r&1 ustawiony:
a'=a, b'=b+c, r'=r-a;
albo
a''=a+c, b''=b, r''=r-b;
Po tych przekształceniach przyglądam się własnościom par liczb (a',r') oraz (b',r'). Interesuje mnie zwłaszcza podzielność, np. a'|r'.
Wyodrębniłem następujące warunki, stosując parę (d,r):
- d=1, wskazuje rozkład trywialny n = 1*n;
- d|r, sprawdzam teraz, czy d|n. Jeśli tak, d jest dzielnikiem liczby n, jeśli nie, liczba n jest pierwsza. W obu przypadkach mogę zakończyć rozkład;
podobnie należy sprawdzić, kiedy r staje się zerem;
- d>r, rezerwy są zbyt małe, aby móc zwiększać kandydata na dzielnika, ta gałąż rekurencji jest bezużyteczna, można uciąć też drugą gałąź z tego węzła.
Wywołanie rekursywne dzieli rezerwę na 2 oraz przesuwa c na kolejny bit bardziej znaczący, co w praktyce oznacza wywołanie
(a', b', r'/2, 2*c) oraz (a'', b'', r''/2, 2*c).
Zachowanie się wartości.
Liczby a oraz b w kolejnych wywołaniach stanowią ciągi niemalejące, przyrost jest potęgą 2.
Liczba r stanowi ciąg malejący, ograniczony z góry przez n*2^(-i), i jest licznikiem wywołania. Dzielna jest też ograniczona przez tę wartość, zaś dzielnik dosyć szybko rośnie. Przypadek podzielności występuje parzystą krotność razy, dla każdego z dzielników, także dla liczb pierwszych i nie zawsze wskazuje kandydata na dzielnik trywialny.
Kiedy a stanie się większe niż r, rekursja się kończy, co powoduje, że kroność wywołania stanowi połowę logarytmu binarnego z n. Sprawdzamy 2^(1+1/2 lg n) możliwych ustawień bitów w dzielnikach.
Przykład: 143
czwórka inicjująca (1, 1, 142, 1),
pierwsze wywołanie rekursji zwraca (1, 1, 71, 2)
Ponieważ ~2|71, mamy przypadki czwórek (1, 3, 71-1=70, 2) oraz symetryczną (3, 1, 70, 2), 1|70 i jest przypadkiem trywialnym;
Kolejne wywołania rekursywne zwracają (1, 3, 35, 4) oraz (3, 1, 35, 4).
W obu przypadkach ~2|35, zajmijmy się pierwszym:
mamy (1, 7, 34, 4) oraz (5, 3, 32, 4);
wywołania rekursywne (1, 7, 17, 8) oraz (5, 3, 16, 8);
pierwsze z nich daje (1, 15, 16, 8) oraz (9, 7, 10, 8);
po kolejnym wywołaniu rekursywnym obydwu przypadków uzyskujemy r mniejsze niż któryś z kandydatów na dzielniki, należy zająć się (5, 3, 16, 8).
Mamy 2|16, czyli czwórkę (5, 3, 16, 8), albo (13, 11, 0, 8),
Wartość r=0, sprawdzamy, czy 13|143, i rzeczywiście, mamy rozkład 143=13*11.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz